Um bloco de massa m está sobre uma mesa horizontal sem atrito e gira no plano horizontal da mesa, em torno de um eixo vertical, em movimento circular uniforme com velocidade tangencial V, preso a uma mola de constante elástica { }_{k}. O comprimento total da mola (e portanto o raio do círculo descrito pelo bloco) é dado por L+x, onde L é o comprimento natural da mola. Determine em função somente dos parâmetros dados, m, V, k, L :
  1. o valor da deformação da mola, x,
  2. a energia mecânica total do sistema, em relação ao nível (altura) da mesa, E_{\text {mœ}, \text { total }}œ,
  3. a potência instantânea da força elástica da mola, P_{\text {mola }}.
Escolha uma:
\bigcirc
  1. x=\frac{\sqrt{k^{2} L^{2}+4 k m V^{2}}}{2 k}-\frac{L}{2}
  2. E_{\text {mec,total }}=\frac{1}{2} m V^{2}+\frac{1}{2} k x^{2}
  3. P_{\mathrm{mola}}=\frac{m}{4 \pi R} V^{3}

Passo 1

O enunciado dá um bloco de massa \,m\, preso a uma mola de constante elástica \,k\, sobre uma mesa sem atrito. O bloco descreve movimento circular uniforme com velocidade tangencial \,V\,. O comprimento total da mola (que é o raio do círculo) é \,L+x\,, onde \,L\, é o comprimento natural da mola e \,x\, é a deformação (alongeamento) da mola.
O que é pedido:
  1. Determinar a deformação \,x\, em função apenas de \,m, V, k, L.
  2. Determinar a energia mecânica total do sistema, em relação ao nível da mesa, em função apenas de \,m, V, k, L.
  3. Determinar a potência instantânea da força elástica da mola, \,P_{\text{mola}}\,.
Informações relevantes dadas:
  • Massa: \,m.
  • Velocidade tangencial (constante): \,V.
  • Constante elástica da mola: \,k.
  • Comprimento natural da mola: \,L.
  • Raio do movimento: \,r = L + x.
  • Não há atrito nem variação de altura (mesa horizontal).

Passo 2

Identificar as forças radiais e relação necessária para o movimento circular uniforme.
Em movimento circular uniforme a aceleração centrípeta tem módulo
a_c=\frac{V^{2}}{r},
onde \,r\, é o raio da trajetória. A força resultante radial necessária é
F_{\text{radial}}=m\,a_c=\frac{m V^{2}}{r}.
A única força que fornece essa componente radial é a força elástica da mola, de módulo \,F_{\text{mola}}=k x\, (direcionada para o centro). Portanto, impondo equilíbrio das componentes radiais (força elástica fornece a força centrípeta):
k x=\frac{m V^{2}}{r}.
Como \,r=L+x\,, substituímos:
k x=\frac{m V^{2}}{L+x}.
Multiplicando ambos os lados por \,L+x\,:
k x (L+x)=m V^{2}.
Isso é uma equação quadrática em \,x:
k x^{2}+k L x - m V^{2}=0.

Passo 3

Resolver a quadrática para \,x\,. A equação tem coeficientes
a=k,\qquad b=kL,\qquad c=-mV^{2}.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =\frac{-kL\pm\sqrt{(kL)^{2}-4(k)(-mV^{2})}}{2k}.
Calcular o discriminante:
\sqrt{(kL)^{2}+4k m V^{2}}.
Portanto
x=\frac{-kL\pm\sqrt{k^{2}L^{2}+4k m V^{2}}}{2k}.
Como \,x\ge 0\, (alongeamento), escolhemos a raiz com o sinal +. Simplificando:
x=\frac{\sqrt{k^{2}L^{2}+4k m V^{2}}}{2k}-\frac{L}{2}.
Essa é a deformação em função apenas de \,m, V, k, L.

Passo 4

Energia mecânica total: explicação do que entra e por quê.
A energia mecânica total em relação ao nível da mesa é soma da energia cinética e da energia potencial elástica. Não há energia potencial gravitacional relevante (altura constante) nem perda por atrito. Então
E_{\text{mec,total}}=K+U_{\text{mola}}
com
K=\frac{1}{2}mV^{2},\qquad U_{\text{mola}}=\frac{1}{2}k x^{2}.
Logo, inicialmente em termos de x:
E_{\text{mec,total}}=\frac{1}{2}mV^{2}+\frac{1}{2}k x^{2}.
Mas o enunciado exige expressão apenas em função de \,m,V,k,L. Substituímos a expressão encontrada para \,x\,. Para simplificar a escrita, defina
A=\sqrt{k^{2}L^{2}+4k m V^{2}}.
Da expressão de \,x\, temos
x=\frac{A}{2k}-\frac{L}{2}=\frac{A-kL}{2k}.
Calculamos \frac{1}{2}k x^{2}:
\frac{1}{2}k x^{2}=\frac{1}{2}k\left(\frac{A-kL}{2k}\right)^{2} =\frac{(A-kL)^{2}}{8k}.
Portanto
E_{\text{mec,total}}=\frac{1}{2}mV^{2}+\frac{(A-kL)^{2}}{8k}.
Fazendo a álgebra do termo em (A-kL)^{2} (usar A^{2}=k^{2}L^{2}+4k m V^{2}) podemos simplificar:
\frac{(A-kL)^{2}}{8k}=\frac{kL^{2}}{4}+\frac{1}{2}mV^{2}-\frac{A L}{4}.
Somando \tfrac{1}{2}mV^{2} obtemos a forma mais compacta em termos apenas dos parâmetros:
E_{\text{mec,total}}=mV^{2}+\frac{kL^{2}-L\sqrt{k^{2}L^{2}+4k m V^{2}}}{4}.
Essa expressão usa somente \,m,V,k,L\,.

Passo 5

Potência instantânea da força elástica da mola. Conceito e aplicação.
A potência instantânea de uma força é o produto escalar entre a força e a velocidade do ponto de aplicação:
P=\vec{F}\cdot\vec{v}.
Aqui a força elástica é radial (direção do raio, para o centro), com módulo \,k x\,. A velocidade do bloco em movimento circular uniforme é tangencial, isto é, perpendicular à direção radial. Sendo os vetores \vec{F}_{\text{mola}} e \vec{v} ortogonais, o produto escalar é zero:
P_{\text{mola}}=\vec{F}_{\text{mola}}\cdot\vec{v}=0.
Outra maneira de ver: \,x\, é constante (estado estacionário do movimento circular uniforme), logo a energia potencial elástica é constante; portanto a potência média e instantânea da força elástica é zero (a mola não está transferindo nem recebendo energia do bloco instantaneamente).

Resposta

\displaystyle x=\frac{\sqrt{k^{2}L^{2}+4k m V^{2}}}{2k}-\frac{L}{2}
\displaystyle E_{\text{mec,total}}=mV^{2}+\frac{kL^{2}-L\sqrt{k^{2}L^{2}+4k m V^{2}}}{4}
\displaystyle P_{\text{mola}}=0

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