Um bloco de massa
está sobre uma mesa horizontal sem atrito e gira no plano horizontal da mesa, em torno de um eixo vertical, em movimento circular uniforme com velocidade tangencial
, preso a uma mola de constante elástica
. O comprimento total da mola (e portanto o raio do círculo descrito pelo bloco) é dado por
, onde
é o comprimento natural da mola. Determine em função somente dos parâmetros dados,
:
- o valor da deformação da mola,
,
- a energia mecânica total do sistema, em relação ao nível (altura) da mesa,
,
- a potência instantânea da força elástica da mola,
.
Escolha uma:
-
-
-
Passo 1
O enunciado dá um bloco de massa
preso a uma mola de constante elástica
sobre uma mesa sem atrito. O bloco descreve movimento circular uniforme com velocidade tangencial
. O comprimento total da mola (que é o raio do círculo) é
, onde
é o comprimento natural da mola e
é a deformação (alongeamento) da mola.
O que é pedido:
O que é pedido:
- Determinar a deformação
em função apenas de . - Determinar a energia mecânica total do sistema, em relação ao nível da mesa, em função apenas de
. - Determinar a potência instantânea da força elástica da mola,
.
Informações relevantes dadas:
- Massa:
. - Velocidade tangencial (constante):
. - Constante elástica da mola:
. - Comprimento natural da mola:
. - Raio do movimento:
. - Não há atrito nem variação de altura (mesa horizontal).
Passo 2
Identificar as forças radiais e relação necessária para o movimento circular uniforme.
Em movimento circular uniforme a aceleração centrípeta tem módulo
Em movimento circular uniforme a aceleração centrípeta tem módulo
onde
é o raio da trajetória. A força resultante radial necessária é
A única força que fornece essa componente radial é a força elástica da mola, de módulo
(direcionada para o centro). Portanto, impondo equilíbrio das componentes radiais (força elástica fornece a força centrípeta):
Como
, substituímos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso é uma equação quadrática em
:
Passo 3
Resolver a quadrática para
. A equação tem coeficientes
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Calcular o discriminante:
Portanto
Como
(alongeamento), escolhemos a raiz com o sinal
. Simplificando:
Essa é a deformação em função apenas de
.
Passo 4
Energia mecânica total: explicação do que entra e por quê.
A energia mecânica total em relação ao nível da mesa é soma da energia cinética e da energia potencial elástica. Não há energia potencial gravitacional relevante (altura constante) nem perda por atrito. Então
A energia mecânica total em relação ao nível da mesa é soma da energia cinética e da energia potencial elástica. Não há energia potencial gravitacional relevante (altura constante) nem perda por atrito. Então
com
Logo, inicialmente em termos de
:
Mas o enunciado exige expressão apenas em função de
. Substituímos a expressão encontrada para
. Para simplificar a escrita, defina
Da expressão de
temos
Calculamos
:
Portanto
Fazendo a álgebra do termo em
(usar
) podemos simplificar:
Somando
obtemos a forma mais compacta em termos apenas dos parâmetros:
Essa expressão usa somente
.
Passo 5
Potência instantânea da força elástica da mola. Conceito e aplicação.
A potência instantânea de uma força é o produto escalar entre a força e a velocidade do ponto de aplicação:
A potência instantânea de uma força é o produto escalar entre a força e a velocidade do ponto de aplicação:
Aqui a força elástica é radial (direção do raio, para o centro), com módulo
. A velocidade do bloco em movimento circular uniforme é tangencial, isto é, perpendicular à direção radial. Sendo os vetores
e
ortogonais, o produto escalar é zero:
Outra maneira de ver:
é constante (estado estacionário do movimento circular uniforme), logo a energia potencial elástica é constante; portanto a potência média e instantânea da força elástica é zero (a mola não está transferindo nem recebendo energia do bloco instantaneamente).