De um lago com NA na cota 1480 m , parte uma adutora de tubos de FoFo novos ( f=0,045 ) com 650 m de comprimento e 100 mm de diâmetro conduzindo água para um reservatório cujo nível de água tem cota de 1.400 m . Determine a vazão e a velocidade média do escoamento.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a vazão e a velocidade média do escoamento em uma adutora. Dados fornecidos (copiados do enunciado):
\text{cota do lago (montante)} = 1480\\ \text{m}
\text{cota do reservatório (jusante)} = 1400\\ \text{m}ó
\text{comprimento da tubulação } L = 650\\ \text{m}çã
\text{diâmetro } D = 100\\ \text{mm} = 0,1\\ \text{m}â
\text{fator de atrito (Darcy) } f = 0,045
Perguntas explícitas: determinar (1) a vazão volumétrica e (2) a velocidade média do escoamento.

Passo 2

Hipóteses e simplificações que vou usar (essas são razoáveis em provas e facilitam a conta):
  • Escoamento permanente e incompressível (água).
  • Os dois tanques são grandes, logo os termos de velocidade nos tanques são desprezíveis comparados à perda tubular (uso o balanço de energia entre superfícies livres dos reservatórios).
  • Desprezo perdas locais (entrada/saída) a menos que o enunciado peça; aqui só foi dado f, então uso apenas perda por atrito ao longo do tubo.
  • A perda de carga por atrito será dada pela fórmula de Darcy–Weisbach.
    Essas hipóteses permitem relacionar a diferença de cota diretamente com a perda por atrito.

Passo 3

Apresento a relação física que vou usar: a diferença de cota entre os reservatórios \Delta z é consumida pela perda de carga por atrito h_f. Assim
\Delta z = h_f.
A perda por atrito segundo Darcy–Weisbach é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • f é o fator de atrito (adimensional),
  • L é o comprimento da tubulação ( \text{m}),
  • D é o diâmetro ( \text{m}),
  • V é a velocidade média no tubo ( \text{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \text{m/s}^2), tomo g=9,81\\ \text{m/s}^2.
Aqui \Delta z = 1480 - 1400 = 80\\ \text{m}.

Passo 4

Isolo V na equação \Delta z = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}. Fazendo álgebra:
\Delta z = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}
\Rightarrow V^2 = \frac{2g\,\Delta z}{f\,\dfrac{L}{D}} = \frac{2g\,\Delta z\,D}{f\,L}
\Rightarrow V = \sqrt{\frac{2g\,\Delta z\,D}{f\,L}}.
Essa fórmula mostra claramente a dependência da velocidade com a diferença de cota e com as propriedades geométricas e do atrito.

Passo 5

Agora substituo os valores numéricos passo a passo:
\Delta z = 80\\ \text{m},\quad D=0,1\\ \text{m},\quad L=650\\ \text{m},\quad f=0,045,\quad g=9,81\\ \text{m/s}^2.
Calculo o numerador:
2g\,\Delta z\,D = 2\cdot 9,81 \cdot 80 \cdot 0,1.
Faço as contas:
9,81\cdot 80 = 784,8
2\cdot 784,8 = 1569,6
1569,6\cdot 0,1 = 156,96.
Portanto o numerador vale 156,96.
Calculo o denominador:
f\,L = 0,045\cdot 650 = 29,25.
Divido numerador por denominador:
\frac{156,96}{29,25} \approx 5,3661538.
Agora a raiz:
V = \sqrt{5,3661538} \approx 2,316\\ \text{m/s}.
Arredondando de forma prática para resposta de prova: V \approx 2,32\\ \text{m/s}.

Passo 6

Com a velocidade média V encontro a vazão Q usando Q = A V, onde A é a área da seção transversal:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0,1)^2}{4} = \pi\cdot 0,0025 \approx 0,007854\\ \text{m}^2.
Então
Q = A V \approx 0,00785398 \cdot 2,316 \approx 0,01818\\ \text{m}^3/\text{s}.
Em unidades mais amigáveis:
0,01818\\ \text{m}^3/\text{s} = 18,18\\ \text{L/s} \approx 18,2\\ \text{L/s}.

Passo 7

Verificação rápida (consistência): calculei a velocidade e posso checar que o escoamento é bem turbulento, então usar um f constante faz sentido. Estimo o número de Reynolds usando \nu \approx 1{,}0\times 10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s}:
\text{Re} = \frac{V D}{\nu} \approx \frac{2{,}316\cdot 0{,}1}{1\times10^{-6}} \approx 2{,}316\times10^{5},
ou seja muito maior que 4000, regime turbulento. Logo usar o f fornecido é justificável.

Resposta

Q \approx 0,0182\\ \mathrm{m^3/s} \;=\; 18{,}2\\ \mathrm{L/s}
V \approx 2{,}32\\ \mathrm{m/s}

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