(Fonte desconhecida) Em uma pesquisa de campo, uma tubulação DN 50, f=0,03, possui duas tomadas de pressão situadas a 150 metros de distância uma da outra e tendo uma diferença de cotas geométricas de 1 metro. Quando a água escoa no sentido ascendente, às duas tomadas de pressão indicam uma diferença manométrica de 2,5 metros. Qual a vazão?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Tubulação: DN50.
  • Rugosidade (fator de atrito): f=0,03.
  • Distância entre as duas tomadas de pressão: L=150\\ \text{m}.
  • Diferença de cotas geométricas entre as tomadas: \Delta z = 1\\ \text{m}.
  • Leitura manométrica entre as tomadas (quando o escoamento é no sentido ascendente): \Delta p/(\rho g)=2,5\\ \text{m}.
  • Pergunta: Qual a vazão volumétrica Q da água?
Observação (assunção necessária): vou considerar que DN50 corresponde a diâmetro interno D=0,05\\ \text{m}. Não foi fornecido outro valor, então essa é a suposição padrão.

Passo 2

Entendendo o que a leitura manométrica significa (explicação física):
  • A leitura manométrica entre as duas tomadas é o diferencial de carga de pressão entre o ponto 1 (mais baixo) e o ponto 2 (mais alto). Escrevemos isso como
\frac{p_1}{\rho g}-\frac{p_2}{\rho g}=2,5\\ \text{m}.
  • Aplicando a equação de Bernoulli entre as duas tomadas (mesma velocidade na seção, já que é a mesma tubulação) e incluindo a perda de carga distribuída h_f entre as tomadas, obtemos:
\frac{p_1}{\rho g}+z_1+\frac{v^2}{2g}=\frac{p_2}{\rho g}+z_2+\frac{v^2}{2g}+h_f.
  • As velocidades cinemáticas se cancelam porque a área é a mesma nas duas tomadas, então sobra:
\frac{p_1}{\rho g}-\frac{p_2}{\rho g}=z_2-z_1+h_f.
  • Em notação mais direta:
\frac{p_1}{\rho g}-\frac{p_2}{\rho g}=\Delta z + h_f.
Essa relação é a peça-chave: a diferença de pressão (em metros de coluna de água) é composta pela diferença de cota mais a perda de carga entre os pontos.

Passo 3

Usando os valores numéricos para extrair a perda de carga h_f:
  • Sabemos que \frac{p_1}{\rho g}-\frac{p_2}{\rho g}=2,5\\ \text{m} e \Delta z=1\\ \text{m}. Substituindo na equação anterior:
2,5=\;1 + h_f.
  • Portanto:
h_f=2,5-1=1,5\\ \text{m}.
Interpretação: entre as tomadas (comprimento L=150\\ \text{m}) a perda de carga total é 1,5\\ \text{m}.

Passo 4

Agora relacionamos a perda de carga h_f com a velocidade usando a fórmula de Darcy–Weisbach (a fórmula mais usada para perda por atrito em escoamento em dutos):
  • A fórmula é
h_f = f\;\frac{L}{D}\;\frac{v^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga (m),
  • f é o fator de atrito adimensional (dado f=0,03),
  • L é o comprimento sobre o qual se mede a perda ( L=150\\ \text{m}),
  • D é o diâmetro interno da tubulação ( D=0,05\\ \text{m}, suposição feita),
  • v é a velocidade média do escoamento ( \text{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade ( g=9,81\\ \text{m/s}^2).
Explicação rápida: a equação diz que a perda (em metros de coluna) cresce proporcionalmente ao quadrado da velocidade e à razão L/D, escalada pelo fator f.

Passo 5

Isolando v^2 na fórmula de Darcy–Weisbach:
v^2 = \frac{2 g h_f D}{f L}.
Substituiremos os valores conhecidos para calcular v.

Passo 6

Substituição numérica (tudo em unidades SI):
  • g=9,81\\ \text{m/s}^2, h_f=1,5\\ \text{m}, D=0,05\\ \text{m}, f=0,03, L=150\\ \text{m}.
    Calcule o numerador:
2 g h_f D = 2\cdot 9,81\cdot 1,5\cdot 0,05 = 1,4715.
Calcule o denominador:
f L = 0,03\cdot 150 = 4,5.
Logo
v^2 = \frac{1,4715}{4,5}\approx 0,327.
E, portanto,
v \approx \sqrt{0,327}\approx 0,572\\ \text{m/s}.

Passo 7

Agora obtemos a vazão volumétrica Q a partir da velocidade média e da área da seção transversal:
  • Área da seção para um tubo circular:
A=\frac{\pi D^2}{4}.
Substituindo D=0,05\\ \text{m}:
A=\frac{\pi\cdot(0,05)^2}{4}=\pi\cdot 0,000625\approx 0,0019635\\ \text{m}^2.
  • A vazão é
Q = v\;A.
Substituindo v\approx 0,572\\ \text{m/s} e A\approx 0,0019635\\ \text{m}^2:
Q \approx 0,572\cdot 0,0019635 \approx 0,001123\\ \text{m}^3/\text{s}.

Passo 8

Conversão para unidades usuais e arredondamento:
  • Em litros por segundo:
Q\approx 0,001123\\ \text{m}^3/\text{s}=1,123\\ \text{L/s}.
  • Arredondando com três algarismos significativos:
Q\approx 0,00112\\ \text{m}^3/\text{s}\quad\text{(ou)}\quad 1,12\\ \text{L/s}.

Resposta

Q\approx 0,00112\\ \text{m}^3/\text{s}
Q\approx 1,12\\ \text{L/s}

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