(Fonte desconhecida) Em uma pesquisa de campo, uma tubulação DN 50,
, possui duas tomadas de pressão situadas a 150 metros de distância uma da outra e tendo uma diferença de cotas geométricas de 1 metro. Quando a água escoa no sentido ascendente, às duas tomadas de pressão indicam uma diferença manométrica de 2,5 metros. Qual a vazão?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Tubulação:
. - Rugosidade (fator de atrito):
. - Distância entre as duas tomadas de pressão:
. - Diferença de cotas geométricas entre as tomadas:
. - Leitura manométrica entre as tomadas (quando o escoamento é no sentido ascendente):
. - Pergunta: Qual a vazão volumétrica
da água?
Observação (assunção necessária): vou considerar que
corresponde a diâmetro interno
. Não foi fornecido outro valor, então essa é a suposição padrão.
Passo 2
Entendendo o que a leitura manométrica significa (explicação física):
- A leitura manométrica entre as duas tomadas é o diferencial de carga de pressão entre o ponto 1 (mais baixo) e o ponto 2 (mais alto). Escrevemos isso como
- Aplicando a equação de Bernoulli entre as duas tomadas (mesma velocidade na seção, já que é a mesma tubulação) e incluindo a perda de carga distribuída
entre as tomadas, obtemos:
- As velocidades cinemáticas se cancelam porque a área é a mesma nas duas tomadas, então sobra:
- Em notação mais direta:
Essa relação é a peça-chave: a diferença de pressão (em metros de coluna de água) é composta pela diferença de cota mais a perda de carga entre os pontos.
Passo 3
Usando os valores numéricos para extrair a perda de carga
:
- Sabemos que
e . Substituindo na equação anterior:
- Portanto:
Interpretação: entre as tomadas (comprimento
) a perda de carga total é
.
Passo 4
Agora relacionamos a perda de carga
com a velocidade usando a fórmula de Darcy–Weisbach (a fórmula mais usada para perda por atrito em escoamento em dutos):
- A fórmula é
onde:
-
é a perda de carga (m), -
é o fator de atrito adimensional (dado ), -
é o comprimento sobre o qual se mede a perda ( ), -
é o diâmetro interno da tubulação ( , suposição feita), -
é a velocidade média do escoamento ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ).
Explicação rápida: a equação diz que a perda (em metros de coluna) cresce proporcionalmente ao quadrado da velocidade e à razão
, escalada pelo fator
.
Passo 5
Isolando
na fórmula de Darcy–Weisbach:
Substituiremos os valores conhecidos para calcular
.
Passo 6
Substituição numérica (tudo em unidades SI):
-
, , , , .
Calcule o numerador:
Calcule o denominador:
Logo
E, portanto,
Passo 7
Agora obtemos a vazão volumétrica
a partir da velocidade média e da área da seção transversal:
- Área da seção para um tubo circular:
Substituindo
:
- A vazão é
Substituindo
e
:
Passo 8
Conversão para unidades usuais e arredondamento:
- Em litros por segundo:
- Arredondando com três algarismos significativos: