Um lago possui uma carga (Função de entrada) de uma espécie A, que pode ser representada pela seguinte função linear do tipo W=WL t, sabendo que a espécie A é eliminada por uma reação química de primeira ordem, construa a função que representa o perfil de concentração em regime transiente

Passo 1

O problema pede o perfil de concentração em regime transiente de uma espécie A num lago em que entra uma carga linear W(t)=WL,t e sai por reação de primeira ordem. O conteúdo será o balanço de massa dinâmico (ODE de 1ª ordem) e a técnica de fator integrante para resolver.

Passo 2

Escrevemos o balanço de massa de A no lago, tomando M(t) a massa de A e k a constante de reação de primeira ordem:
dMdt ;=; WL,t ;-; k,M

Passo 3

Como M(t)=V,C(t), onde V é o volume constante do lago e C(t) a concentração, dividimos a ODE por V:
dCdt + k,C = WLV,t

Passo 4

Reconhecemos uma ODE linear padrão dCdt+kC = g(t). O fator integrante é
mu(t) = e^integral k,dt = e^k t
Multiplicando ambos os lados por mu(t):
ddtl(C,e^k tr) = WLV,t,e^k t

Passo 5

Integramos os dois lados em função de t. Sabemos que
integral t,e^k t,dt = l(tk - 1k^2r)e^k t + constante
Logo
C,e^k t = WLV,l(tk-1k^2r)e^k t + C1,
onde C1 é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos C(t) dividindo por e^k t:
C(t) = WLVl(tk-1k^2r) + C1,e^-k t
Para ajustar a condição inicial C(0)=C0, notamos que
C(0)= -WLV k^2 + C1 = C0 Longrightarrow C1 = C0 + WLV k^2

Passo 7

Substituindo C1 em C(t) obtemos a solução em regime transiente:
C(t) = WLV k,t - WLV k^2 l(1 - e^-k tr) + C0,e^-k t
Se assumirmos C0=0 (lago inicialmente limpo), simplifica para
C(t) = WLV k,t - WLV k^2l(1 - e^-k tr)

Resposta

C(t) = WLV k,t - WLV k^2 l(1 - e^-k tr) + C0,e^-k t
Em especial, para C0=0:
C(t) = WLV k,t - WLV k^2l(1 - e^-k tr)

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