Um lago possui uma carga (Função de entrada) de uma espécie A, que pode ser representada pela seguinte função linear do tipo
, sabendo que a espécie A é eliminada por uma reação química de primeira ordem, construa a função que representa o perfil de concentração em regime transiente
Passo 1
O problema pede o perfil de concentração em regime transiente de uma espécie A num lago em que entra uma carga linear
e sai por reação de primeira ordem. O conteúdo será o balanço de massa dinâmico (ODE de 1ª ordem) e a técnica de fator integrante para resolver.
Passo 2
Escrevemos o balanço de massa de A no lago, tomando
a massa de A e
a constante de reação de primeira ordem:
Passo 3
Como
, onde
é o volume constante do lago e
a concentração, dividimos a ODE por
:
Passo 4
Reconhecemos uma ODE linear padrão
. O fator integrante é
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Integramos os dois lados em função de
. Sabemos que
Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolamos
dividindo por
:
Para ajustar a condição inicial
, notamos que
Passo 7
Substituindo
em
obtemos a solução em regime transiente:
Se assumirmos
(lago inicialmente limpo), simplifica para
Resposta
Em especial, para
: