A Lagrangiana para uma partícula de massa m e carga q, na presença de um campo eletromagnético é:
L=\frac{1}{2} m \vec{v}^{2}-q \varphi+q \vec{A} \cdot \vec{v}
Obtenha a expressão do Hamiltoniano para esse sistema.

Passo 1

O enunciado dá a Lagrangiana de uma partícula de massa m e carga q em um campo eletromagnético,
L = \frac12 m \,\vec v^{2} - q\,\varphi + q\,\vec A\cdot\vec v,
e pede o Hamiltoniano. O conteúdo aqui é o formalismo hamiltoniano: definimos o momento canônico \vec p via derivada de L em relação a \vec v e então fazemos a transformada de Legendre
H = \vec p\cdot\vec v - L.

Passo 2

Calcular o momento canônico \vec p como
\vec p \;=\;\frac{\partial L}{\partial \vec v} \;=\;m\,\vec v \;+\;q\,\vec A.

Passo 3

Isolar a velocidade \vec v em função de \vec p:
\vec v \;=\;\frac{1}{m}\bigl(\vec p - q\,\vec A\bigr).

Passo 4

Fazer a transformada de Legendre:
H = \vec p\cdot\vec v \;-\;L.
Substituindo \vec v e L:
\vec p\cdot\vec v = \vec p\cdot\frac{\vec p - q\,\vec A}{m} = \frac{1}{m}\bigl(\vec p - q\,\vec A\bigr)\!\cdot\!\vec p,
e
L = \frac{1}{2}m\,\vec v^{2} - q\,\varphi + q\,\vec A\cdot\vec v = \frac{1}{2m}\bigl(\vec p - q\,\vec A\bigr)^{2} - q\,\varphi + q\,\frac{\vec A\cdot(\vec p - q\,\vec A)}{m}.
Ao simplificar \vec p\cdot\vec v - L, os termos mistos com \vec A se cancelam, sobrando
H = \frac{1}{2m}\bigl(\vec p - q\,\vec A\bigr)^{2} + q\,\varphi.

Resposta

H(\vec r,\vec p) \;=\;\frac{1}{2m}\bigl(\vec p - q\,\vec A(\vec r)\bigr)^{2} \;+\;q\,\varphi(\vec r).

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