Uma partícula de carga q encontra-se em um potencial de oscilador harmônico tridimensional, caracterizado por uma frequência angular \omega_{0}. Ela é colocada em uma região onde atua um campo elétrico uniforme \vec{E}=E \hat{x}, orientado ao longo do eixo x. Utilizando o formalismo lagrangiano determine as equações de movimento da partícula, com suas respectivas soluções.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m e carga q sujeita a dois potenciais simultâneos:
  1. Um potencial de oscilador harmônico tridimensional isotrópico, com frequência angular \omega_{0}.
  2. Um potencial uniforme de campo elétrico \vec{E}=E\,\hat{x}.
O que vamos fazer:
  • Montar a lagrangiana L=T-V, incluindo energia cinética e energia potencial (harmônica mais eletrostática).
  • Aplicar as equações de Euler–Lagrange para cada coordenada x,y,z.
  • Resolver as EDOs obtidas, encontrando as soluções gerais para x(t), y(t) e z(t).

Passo 2

A energia cinética da partícula é
T = \frac{m}{2}\bigl(\dot x^{2}+\dot y^{2}+\dot z^{2}\bigr).
A energia potencial total é a soma da potencial harmônico
V_{\text{osc}} = \frac{m\,\omega_{0}^{2}}{2}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)
com a energia potencial na presença do campo elétrico (onde V_{E}=-q\,E\,x). Logo
V = \frac{m\,\omega_{0}^{2}}{2}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\;-\;q\,E\,x.
Portanto a lagrangiana fica
L=T-V =\frac{m}{2}\bigl(\dot x^{2}+\dot y^{2}+\dot z^{2}\bigr) -\frac{m\,\omega_{0}^{2}}{2}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr) +q\,E\,x.

Passo 3

Aplicamos agora as equações de Euler–Lagrange
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot q_{i}}\Bigr) -\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0 \quad\text{para }q_{i}=x,y,z.
Para x:
\frac{\partial L}{\partial \dot x}=m\,\dot x,\quad \frac{d}{dt}(m\,\dot x)=m\,\ddot x, \quad \frac{\partial L}{\partial x} =-m\,\omega_{0}^{2}\,x+q\,E.
Logo
m\,\ddot x -\bigl(-m\,\omega_{0}^{2}\,x+q\,E\bigr)=0 \;\;\Longrightarrow\;\; m\,\ddot x + m\,\omega_{0}^{2}\,x = q\,E.
Para y e z não há termo elétrico, então de modo análogo
m\,\ddot y + m\,\omega_{0}^{2}\,y = 0, \quad m\,\ddot z + m\,\omega_{0}^{2}\,z = 0.

Passo 4

Cada equação é um oscilador harmônico; em x temos um termo forçante constante.
  1. Em x: resolvemos
\ddot x + \omega_{0}^{2}\,x = \frac{q\,E}{m}.
Escolhemos uma solução particular constante
x_{p} = \frac{q\,E}{m\,\omega_{0}^{2}},
e escrevemos a solução geral como soma da parte homogênea
x(t) = x_{p} + A_{x}\cos(\omega_{0}t) + B_{x}\sin(\omega_{0}t).
  1. Em y e z as equações homogêneas
\ddot y + \omega_{0}^{2}\,y=0, \quad \ddot z + \omega_{0}^{2}\,z=0
têm soluções gerais
y(t)=A_{y}\cos(\omega_{0}t)+B_{y}\sin(\omega_{0}t), \quad z(t)=A_{z}\cos(\omega_{0}t)+B_{z}\sin(\omega_{0}t),
onde A_{x},B_{x},A_{y},B_{y},A_{z},B_{z} são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

Equações de movimento:
\ddot x + \omega_{0}^{2}\,x = \frac{q\,E}{m}, \quad \ddot y + \omega_{0}^{2}\,y = 0, \quad \ddot z + \omega_{0}^{2}\,z = 0.
Soluções gerais:
x(t)=\frac{q\,E}{m\,\omega_{0}^{2}} + A_{x}\cos(\omega_{0}t) + B_{x}\sin(\omega_{0}t),
y(t)=A_{y}\cos(\omega_{0}t)+B_{y}\sin(\omega_{0}t), \quad z(t)=A_{z}\cos(\omega_{0}t)+B_{z}\sin(\omega_{0}t).

Exercícios relacionados