Uma partícula de carga
encontra-se em um potencial de oscilador harmônico tridimensional, caracterizado por uma frequência angular
. Ela é colocada em uma região onde atua um campo elétrico uniforme
, orientado ao longo do eixo
. Utilizando o formalismo lagrangiano determine as equações de movimento da partícula, com suas respectivas soluções.
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa
e carga
sujeita a dois potenciais simultâneos:
- Um potencial de oscilador harmônico tridimensional isotrópico, com frequência angular
. - Um potencial uniforme de campo elétrico
.
O que vamos fazer:
- Montar a lagrangiana
, incluindo energia cinética e energia potencial (harmônica mais eletrostática). - Aplicar as equações de Euler–Lagrange para cada coordenada
. - Resolver as EDOs obtidas, encontrando as soluções gerais para
, e .
Passo 2
A energia cinética da partícula é
A energia potencial total é a soma da potencial harmônico
com a energia potencial na presença do campo elétrico (onde
). Logo
Portanto a lagrangiana fica
Passo 3
Aplicamos agora as equações de Euler–Lagrange
Para
:
Logo
Para
e
não há termo elétrico, então de modo análogo
Passo 4
Cada equação é um oscilador harmônico; em
temos um termo forçante constante.
- Em
: resolvemos
Escolhemos uma solução particular constante
e escrevemos a solução geral como soma da parte homogênea
- Em
e as equações homogêneas
têm soluções gerais
onde
são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
Equações de movimento:
Soluções gerais: