Uma partícula de massa
e carga
está em uma região onde existe um campo magnético
onde
é uma constante. Considerando o potencial vetor
, determine: (a) o Hamiltoniano para esse sistema, (b) as equações de Hamilton. Essas equações são as mesmas obtidas com o uso da segunda lei de Newton e da força de Lorentz? Explique.
Passo 1
O enunciado fala de uma partícula de massa
e carga
em campo magnético uniforme
, usando o potencial vetor no chamado “gauge simétrico”
.
Precisamos (a) escrever o Hamiltoniano em termos do momento canônico e (b) aplicar as equações de Hamilton
Precisamos (a) escrever o Hamiltoniano em termos do momento canônico
e comparar com a segunda lei de Newton usando a força de Lorentz
.
Passo 2
O Hamiltoniano de uma partícula carregada num campo magnético, em termos do momento canônico
, é
Substituindo
em coordenadas cartesianas:
Logo
Passo 3
Vamos às equações de Hamilton para as coordenadas:
Como
, vemos que
Passo 4
Agora as equações para os momentos:
Em termos de velocidades, por exemplo
Mas o momento canônico e o momento cinético estão ligados por
.
Ao montar a combinação para (usando
) obtém-se
Ao montar a combinação para
que são exatamente as componentes de
Passo 5
Comparando, percebemos que as equações de Hamilton se reduzem, para as quantidades físicas
e
, às mesmas equações obtidas pela segunda lei de Newton com a força de Lorentz. A diferença de momento canônico versus momento cinético é “corrigida” pelo termo
, garantindo a equivalência de ambas as formulações.
Resposta
(a)
(b) As equações de Hamilton
levam a
que é exatamente o resultado da segunda lei de Newton com a força de Lorentz. Portanto, sim, são as mesmas equações físicas.