Lalcule
, onde
e
é a superfície de finida pela parte do paraboloide
contida no semiespago
, com normal
tal que
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Pede-se calcular o fluxo
da campo vetorial através da porção do paraboloide que está no semiespaço . - A orientação da superfície
é dada pela normal tal que (ou seja, normal com componente não-negativa — normal “para cima”). - Resumo das perguntas: calcular o valor numérico do fluxo sobre essa porção do paraboloide com a orientação escolhida.
Passo 2
Decisão do método e fechamento do volume:
- Uma maneira eficiente é fechar a superfície
com a região plana dada pela interseção do semiespaço com a região onde ele fica abaixo do paraboloide, formando um volume delimitado por (parte superior) e (parte inferior). - Aplicaremos o Teorema da Divergência ao volume
: o fluxo total pelo fecho (paraboloide mais o disco planar ) é igual ao integral triplo da divergência de sobre .
Passo 3
Encontrar a projeção no plano
(região de integração) — determinar a curva de interseção:
- Interseção entre
e satisfaz
- Rearranjando,
- Complete o quadrado em
: , então
- Portanto a projeção
no plano é o disco centrado em de raio :
Passo 4
Calcular a divergência e o volume
:
- A divergência de
é
- O volume
entre as superfícies, calculado pela integral sobre da altura , é
- Simplificando o integrando,
- Para facilitar, faça a mudança de variável centrando o disco: defina
, . Então torna-se e observe
- Assim a altura é
- Em coordenadas polares
com , , temos
- Calcule a integral radial:
- Então
Passo 5
Aplicar o Teorema da Divergência ao volume
:
- Pelo teorema,
- A superfície fechada
é a união de (paraboloide, com normal para cima conforme enunciado) e do disco planar (parte do plano ). Assim
- Portanto
Passo 6
Calcular o fluxo através do disco planar
(orientação externa ao volume):
- Parametrize o plano
por sobre o mesmo domínio de projeção . - Para superfícies do tipo
, um vetor normal (não-unitário) com componente positiva é . Aqui , , então
- O fluxo com orientação para cima é
- Calcule o produto escalar:
, então
- Portanto o fluxo com normal para cima é simplesmente
- Agora, qual a orientação externa do disco
em relação ao volume? O volume está acima do plano, então a normal externa ao volume no disco aponta para baixo (componente negativa), ou seja . Logo o fluxo sobre com orientação externa é
Passo 7
Combinar os resultados para obter o fluxo sobre o paraboloide
:
- Usando a relação do Passo 5,