Lalcule \iint_{\sigma} \vec{F} \cdot d \vec{\sigma}, onde \vec{F}(x, y, z)=(x, y, z) e \sigma é a superfície de finida pela parte do paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} contida no semiespago z \geqslant 2 y+1, com normal \hat{n} tal que \hat{n} \cdot \hat{k} \geqslant 0.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede-se calcular o fluxo \iint_{\sigma} \vec{F}\cdot d\vec{\sigma} da campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=(x,y,z) através da porção \sigma do paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} que está no semiespaço z\geqslant 2y+1.
  • A orientação da superfície \sigma é dada pela normal \hat{n} tal que \hat{n}\cdot\hat{k}\geqslant 0 (ou seja, normal com componente z não-negativa — normal “para cima”).
  • Resumo das perguntas: calcular o valor numérico do fluxo sobre essa porção do paraboloide com a orientação escolhida.

Passo 2

Decisão do método e fechamento do volume:
  • Uma maneira eficiente é fechar a superfície \sigma com a região plana S_{p} dada pela interseção do semiespaço z=2y+1 com a região onde ele fica abaixo do paraboloide, formando um volume V delimitado por \sigma (parte superior) e S_{p} (parte inferior).
  • Aplicaremos o Teorema da Divergência ao volume V: o fluxo total pelo fecho (paraboloide \sigma mais o disco planar S_{p}) é igual ao integral triplo da divergência de \vec{F} sobre V.

Passo 3

Encontrar a projeção no plano xy (região de integração) — determinar a curva de interseção:
  • Interseção entre z=4-x^{2}-y^{2} e z=2y+1 satisfaz
4-x^{2}-y^{2}=2y+1.
  • Rearranjando,
x^{2}+y^{2}+2y-3=0.
  • Complete o quadrado em y: x^{2}+(y+1)^{2}-4=0, então
x^{2}+(y+1)^{2}=4.
  • Portanto a projeção D no plano xy é o disco centrado em (0,-1) de raio 2:
D=\{(x,y)\mid (x)^{2}+(y+1)^{2}\leqslant 4\}.

Passo 4

Calcular a divergência e o volume V:
  • A divergência de \vec{F} é
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3.
  • O volume V entre as superfícies, calculado pela integral sobre D da altura z_{\text{top}}-z_{\text{bot}}, é
\mathrm{Vol}(V)=\iint_{D} \big(4-x^{2}-y^{2}-(2y+1)\big)\,dA.
  • Simplificando o integrando,
4-x^{2}-y^{2}-2y-1=3-x^{2}-y^{2}-2y.
  • Para facilitar, faça a mudança de variável centrando o disco: defina u=x, v=y+1. Então D torna-se u^{2}+v^{2}\leqslant 4 e observe
x^{2}+y^{2}+2y = u^{2}+v^{2}-1.
  • Assim a altura é
3 - (x^{2}+y^{2}+2y)=3-(u^{2}+v^{2}-1)=4-(u^{2}+v^{2}).
  • Em coordenadas polares (r,\theta) com r\in[0,2], \theta\in[0,2\pi], temos
\mathrm{Vol}(V)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \big(4-r^{2}\big) r\,dr\,d\theta.
  • Calcule a integral radial:
\int_{0}^{2} (4r-r^{3})\,dr=\left[2r^{2}-\tfrac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{2}=2\cdot 4-\tfrac{1}{4}\cdot 16=8-4=4.
  • Então
\mathrm{Vol}(V)=\int_{0}^{2\pi} 4\,d\theta = 8\pi.

Passo 5

Aplicar o Teorema da Divergência ao volume V:
  • Pelo teorema,
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV=3\cdot \mathrm{Vol}(V)=3\cdot 8\pi=24\pi.
  • A superfície fechada \partial V é a união de \sigma (paraboloide, com normal para cima conforme enunciado) e do disco planar S_{p} (parte do plano z=2y+1). Assim
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot d\vec{S}+\iint_{S_{p}}\vec{F}\cdot d\vec{S}.
  • Portanto
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot d\vec{S}=24\pi-\iint_{S_{p}}\vec{F}\cdot d\vec{S}.

Passo 6

Calcular o fluxo através do disco planar S_{p} (orientação externa ao volume):
  • Parametrize o plano S_{p} por (x,y)\mapsto (x,y,2y+1) sobre o mesmo domínio de projeção D.
  • Para superfícies do tipo z=g(x,y), um vetor normal (não-unitário) com componente z positiva é \vec{N}_{\text{up}} =(-g_x,-g_y,1)\,dA. Aqui g_x=0, g_y=2, então
\vec{N}_{\text{up}}=(0,-2,1)\,dA.
  • O fluxo com orientação para cima é
\iint_{D}\vec{F}(x,y,2y+1)\cdot(0,-2,1)\,dA.
  • Calcule o produto escalar: \vec{F}(x,y,2y+1)=(x,y,2y+1), então
(x,y,2y+1)\cdot(0,-2,1)=0\cdot x + (-2)y + (2y+1)\cdot 1 = -2y+2y+1=1.
  • Portanto o fluxo com normal para cima é simplesmente
\iint_{D} 1\,dA = \text{área}(D)=\pi\cdot 2^{2}=4\pi.á
  • Agora, qual a orientação externa do disco S_{p} em relação ao volume? O volume está acima do plano, então a normal externa ao volume no disco aponta para baixo (componente z negativa), ou seja \vec{N}_{\text{out}}=-\vec{N}_{\text{up}}. Logo o fluxo sobre S_{p} com orientação externa é
\iint_{S_{p}}\vec{F}\cdot d\vec{S} = -4\pi.

Passo 7

Combinar os resultados para obter o fluxo sobre o paraboloide \sigma:
  • Usando a relação do Passo 5,
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot d\vec{S}=24\pi - \big(-4\pi\big)=24\pi+4\pi=28\pi.

Resposta

\;28\pi

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