Calcule \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_{1}^{1+h} e^{x^{2}} d x. Dica: Use o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite:
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int_{1}^{1+h} e^{x^{2}}\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A integral envolvida é \int_{1}^{1+h} e^{x^{2}}\,dx.
  • Deve-se calcular o limite quando h tende a 0 da razão entre essa integral e h.
  • Não há outras restrições; a dica diz para usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Transformar o problema numa forma que lembre a definição de derivada. Defina a função
G(h)=\int_{1}^{1+h} e^{x^{2}}\,dx.
Note que G(0)=\int_{1}^{1} e^{x^{2}}\,dx=0. Portanto o quociente do enunciado é exatamente o quociente de diferença que define a derivada de G em 0:
\frac{G(h)-G(0)}{h}=\frac{G(h)}{h}.
Pela definição de derivada,
G'(0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{G(h)-G(0)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{G(h)}{h}.
Logo o limite pedido é G'(0). Agora precisamos calcular G'(0).

Passo 3

Vou lembrar o enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo (parte que usamos aqui) de forma simples e clara:
  • Seja f uma função contínua num intervalo que contém o ponto 1.
  • Defina a função primitiva acumulada \displaystyle F(x)=\int_{1}^{x} f(t)\,dt.
  • Então F é diferenciável e vale F'(x)=f(x) para todo x nesse intervalo.
Aqui a função integrando é f(x)=e^{x^{2}}. É importante afirmar que f é contínua: a função exponencial composta com x^{2} é contínua para todo x, portanto a hipótese do teorema está satisfeita.

Passo 4

Expressar G(h) em termos da função acumulada F. Defina
F(x)=\int_{1}^{x} e^{t^{2}}\,dt.
Então, por definição,
G(h)=\int_{1}^{1+h} e^{x^{2}}\,dx = F(1+h)-F(1).
Diferenciando G(h) em relação a h, usando regra da cadeia (a derivada de F(1+h) em h é F'(1+h)\cdot 1) e que F(1) é constante, obtemos
G'(h)=F'(1+h).

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para substituir F' por f. Como F'(x)=e^{x^{2}}, segue que
G'(h)=e^{(1+h)^{2}}.
Portanto, avaliando em h=0,
G'(0)=e^{(1+0)^{2}}=e^{1}=e.

Passo 6

Concluir que o limite pedido é G'(0), que acabamos de calcular igual a e. Assim
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int_{1}^{1+h} e^{x^{2}}\,dx = e.

Resposta

e

Exercícios relacionados