Calcule
. Dica: Use o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite:
Informações dadas e o que é pedido:
- A integral envolvida é
. - Deve-se calcular o limite quando
tende a da razão entre essa integral e . - Não há outras restrições; a dica diz para usar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Transformar o problema numa forma que lembre a definição de derivada. Defina a função
Note que
. Portanto o quociente do enunciado é exatamente o quociente de diferença que define a derivada de
em
:
Pela definição de derivada,
Logo o limite pedido é
. Agora precisamos calcular
.
Passo 3
Vou lembrar o enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo (parte que usamos aqui) de forma simples e clara:
- Seja
uma função contínua num intervalo que contém o ponto . - Defina a função primitiva acumulada
. - Então
é diferenciável e vale para todo nesse intervalo.
Aqui a função integrando é
. É importante afirmar que
é contínua: a função exponencial composta com
é contínua para todo
, portanto a hipótese do teorema está satisfeita.
Passo 4
Expressar
em termos da função acumulada
. Defina
Então, por definição,
Diferenciando
em relação a
, usando regra da cadeia (a derivada de
em
é
) e que
é constante, obtemos
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para substituir
por
. Como
, segue que
Portanto, avaliando em
,
Passo 6
Concluir que o limite pedido é
, que acabamos de calcular igual a
. Assim