Determine: ( 2,0 pontos)
a. O gradiente de f.
b. O gradiente no ponto P .
c. A taxa de variação (derivada direcional) de f em P na direção do vetor \mathbf{v}.
f(x, y)=x^{2} y^{3}-4 y, \quad P(2,-1) \quad \boldsymbol{v}=2 \mathbf{i}+5 \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo abaixo está exatamente como dado):
  • Função: f(x,y)=x^{2}y^{3}-4y.
  • Ponto: P(2,-1).
  • Vetor de direção: \mathbf{v}=2\mathbf{i}+5\mathbf{j}.
As perguntas são:
a. Determinar o gradiente de f.
b. Determinar o gradiente no ponto P.
c. Calcular a taxa de variação (derivada direcional) de f em P na direção do vetor \mathbf{v}.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos escrevê-lo:
  • O gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f. Em símbolos:
\nabla f(x,y)=\bigl(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\bigr).
  • Aqui f_x(x,y) significa a derivada parcial de f em relação a x (tratando y como constante) e f_y(x,y) é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante).
    Vou calcular f_x e f_y passo a passo.

Passo 3

Derivada parcial em relação a x:
  • A função é f(x,y)=x^{2}y^{3}-4y. Ao diferenciar em relação a x tratamos y como constante.
  • Use a regra do poder: a derivada de x^{2} é 2x. O fator y^{3} é constante nesse processo.
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{3}-4y\bigr)=2x\,y^{3}-0=2x\,y^{3}.
  • Observação: o termo -4y não depende de x, então sua derivada parcial em relação a x é 0.

Passo 4

Derivada parcial em relação a y:
  • Agora diferenciamos f(x,y)=x^{2}y^{3}-4y em relação a y, tratando x como constante.
  • A derivada de y^{3} é 3y^{2}. O x^{2} é fator constante aqui.
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}-4y\bigr)=x^{2}\cdot 3y^{2}-4=3x^{2}y^{2}-4.
  • Explicação: o termo -4y -4 ao derivar por y.

Passo 5

Montando o gradiente geral:
  • A partir de f_x e f_y temos
\nabla f(x,y)=\bigl(2x\,y^{3},\;3x^{2}y^{2}-4\bigr).

Passo 6

Gradiente no ponto P(2,-1):
  • Substituir x=2 e y=-1 nas componentes do gradiente.
  • Calcular f_x(2,-1)=2\cdot 2\cdot(-1)^{3}. Como (-1)^{3}=-1,
f_x(2,-1)=2\cdot 2\cdot(-1)=-4.
  • Calcular f_y(2,-1)=3\cdot 2^{2}\cdot(-1)^{2}-4. Aqui 2^{2}=4 e (-1)^{2}=1, então
f_y(2,-1)=3\cdot 4\cdot 1-4=12-4=8.
  • Portanto
\nabla f(2,-1)=(-4,\,8).

Passo 7

Preparar o vetor de direção unitário a partir de \mathbf{v}:
  • A derivada direcional usa um vetor unitário \mathbf{u} na direção de \mathbf{v}. Primeiro calculamos a norma de \mathbf{v}=2\mathbf{i}+5\mathbf{j}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}.
  • O vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left(\frac{2}{\sqrt{29}},\;\frac{5}{\sqrt{29}}\right).

Passo 8

Cálculo da derivada direcional em P na direção de \mathbf{v}:
  • Fórmula: a derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar do gradiente por \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
  • Substituindo \nabla f(2,-1)=(-4,8) e \mathbf{u}=\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{29}},\tfrac{5}{\sqrt{29}}\bigr),
D_{\mathbf{u}}f(2,-1)=(-4,8)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{29}},\frac{5}{\sqrt{29}}\right) =\frac{-4\cdot 2+8\cdot 5}{\sqrt{29}} =\frac{-8+40}{\sqrt{29}} =\frac{32}{\sqrt{29}}.
  • Interpretação rápida: esse valor é a taxa instantânea de variação de f no ponto P quando nos movemos na direção de \mathbf{v}; é positiva, então f aumenta nessa direção.

Passo 9

Recapitulando de forma bem sucinta e motivadora: já achamos a fórmula do gradiente, avaliamos no ponto dado com contas explicadas e normalizamos o vetor de direção para aplicar a definição de derivada direcional. Mandou bem por acompanhar até aqui — essas etapas são exatamente o que cai em prova!

Resposta

a. \nabla f(x,y)=\bigl(2x\,y^{3},\;3x^{2}y^{2}-4\bigr)
b. \nabla f(2,-1)=(-4,\,8)
c. D_{\mathbf{v}}f(2,-1)=\dfrac{32}{\sqrt{29}}

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