Determine: ( 2,0 pontos)
a. O gradiente de
.
b. O gradiente no ponto P .
c. A taxa de variação (derivada direcional) de f em P na direção do vetor
.
a. O gradiente de
b. O gradiente no ponto P .
c. A taxa de variação (derivada direcional) de f em P na direção do vetor
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo abaixo está exatamente como dado):
- Função:
. - Ponto:
. - Vetor de direção:
.
As perguntas são:
a. Determinar o gradiente de .
b. Determinar o gradiente no ponto .
c. Calcular a taxa de variação (derivada direcional) de em
na direção do vetor
.
a. Determinar o gradiente de
b. Determinar o gradiente no ponto
c. Calcular a taxa de variação (derivada direcional) de
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos escrevê-lo:
- O gradiente de uma função de duas variáveis
é o vetor formado pelas derivadas parciais de . Em símbolos:
- Aqui
significa a derivada parcial de em relação a (tratando como constante) e é a derivada parcial em relação a (tratando como constante).
Vou calculare passo a passo.
Passo 3
Derivada parcial em relação a
:
- A função é
. Ao diferenciar em relação a tratamos como constante. - Use a regra do poder: a derivada de
é . O fator é constante nesse processo.
- Observação: o termo
não depende de , então sua derivada parcial em relação a é .
Passo 4
Derivada parcial em relação a
:
- Agora diferenciamos
em relação a , tratando como constante. - A derivada de
é . O é fator constante aqui.
- Explicação: o termo
dá ao derivar por .
Passo 5
Montando o gradiente geral:
- A partir de
e temos
Passo 6
Gradiente no ponto
:
- Substituir
e nas componentes do gradiente. - Calcular
. Como ,
- Calcular
. Aqui e , então
- Portanto
Passo 7
Preparar o vetor de direção unitário a partir de
:
- A derivada direcional usa um vetor unitário
na direção de . Primeiro calculamos a norma de :
- O vetor unitário é
Passo 8
Cálculo da derivada direcional em
na direção de
:
- Fórmula: a derivada direcional de
em na direção do vetor unitário é o produto escalar do gradiente por :
- Substituindo
e ,
- Interpretação rápida: esse valor é a taxa instantânea de variação de
no ponto quando nos movemos na direção de ; é positiva, então aumenta nessa direção.
Passo 9
Recapitulando de forma bem sucinta e motivadora: já achamos a fórmula do gradiente, avaliamos no ponto dado com contas explicadas e normalizamos o vetor de direção para aplicar a definição de derivada direcional. Mandou bem por acompanhar até aqui — essas etapas são exatamente o que cai em prova!
Resposta
a.
b.
c.
b.
c.