Se
é uma constante não nula. Usando o método da variação dos parâmetros, mostre que a EDO
admite uma solução particular
da forma
Use a fórmula acima para obter a solução geral da EDO:
. Lembrete: Aqui
.
Passo 1
O enunciado pede para usar o método da variação de parâmetros na EDO de segunda ordem não homogênea
e mostrar que uma particular pode ser escrita como
além de aplicar essa fórmula ao caso
e
. Vamos precisar das soluções fundamentais da homogênea, do Wronskiano e das fórmulas de variação de parâmetros.
Passo 2
Tomando como sistema fundamental
,
, impomos as condições usuais
resolvendo para
e integrando de zero a
, chega-se imediatamente à fórmula
Passo 3
Agora especializamos para
e
. A fórmula particular vira
Passo 4
Para calcular essa integral, use
e, via mudança de variável ou expansão, obtém-se
mais termos que são múltiplos de
e
, os quais podem ser absorvidos na solução homogênea.
Passo 5
A solução geral da EDO é a soma da homogênea
com a particular encontrada, ficando