Se lambda é uma constante não nula. Usando o método da variação dos parâmetros, mostre que a EDO
y^prime prime-lambda^2 y=f(x)
admite uma solução particular yp(x) da forma
yp(x)=1lambda integral0^x f(s) senh(lambda cdot(x-s)) d s
Use a fórmula acima para obter a solução geral da EDO: y^prime prime-9 y=e^3 x. Lembrete: Aqui senh(t)=e^t-e^-t2.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da variação de parâmetros na EDO de segunda ordem não homogênea y''-lambda^2y=f(x) e mostrar que uma particular pode ser escrita como
yp(x)=1lambdaintegral0^x f(s),senhl(lambda(x-s)r),ds
além de aplicar essa fórmula ao caso lambda=3 e f(x)=e^3x. Vamos precisar das soluções fundamentais da homogênea, do Wronskiano e das fórmulas de variação de parâmetros.

Passo 2

Tomando como sistema fundamental y1=e^lambda x, y2=e^-lambda x, impomos as condições usuais
u'(x)e^lambda x+v'(x)e^-lambda x=0,
u'(x)lambda e^lambda x-v'(x)lambda e^-lambda x=f(x)
resolvendo para u'(x),v'(x) e integrando de zero a x, chega-se imediatamente à fórmula
yp(x)=1lambdaintegral0^x f(s),senhl(lambda(x-s)r),ds .

Passo 3

Agora especializamos para lambda=3 e f(x)=e^3x. A fórmula particular vira
yp(x)=13integral0^x e^3s,senhl(3(x-s)r),ds

Passo 4

Para calcular essa integral, use senh(3(x-s))=(e^3(x-s)-e^-3(x-s))/2 e, via mudança de variável ou expansão, obtém-se
yp(x)=x e^3x6
mais termos que são múltiplos de e^3x e e^-3x, os quais podem ser absorvidos na solução homogênea.

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea
yh(x)=C1e^3x+C2e^-3x
com a particular encontrada, ficando
y(x)=C1e^3x+C2e^-3x+x e^3x6

Resposta

y(x)=C1e^3x+C2e^-3x+dfracx e^3x6

Exercícios relacionados