Calcule a solução geral de
, sabendo que
uma solução da mesma. (Resp.
)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO de Euler-Cauchy 2 x² y’’ + 3 x y’ – y = 0 em x > 0, sabendo que já temos uma solução y₁(x) = 1/x. Vamos usar a técnica de tentar y(x) = xʳ para obter a equação indicial.
Passo 2
Em uma equação de Euler-Cauchy da forma a x² y’’ + b x y’ + c y = 0, a gente supõe y = xʳ. Assim, y’ = r x^{r-1} e y’’ = r(r-1)x^{r-2}.
Passo 3
Substituindo na EDO original:
Passo 4
Factorizando x^r em comum e simplificando:
Passo 5
Essa é a equação indicial. Vamos resolver a equação quadrática:
Passo 6
As raízes são
Passo 7
Como as raízes são distintas, a solução geral é
Resposta
y(x)=\frac{C_1}{x}+C_2\sqrt{x}