Calcule a solução geral de 2 x^2 y^prime prime+3 x y^prime-y=0, x>0, sabendo que y1(x)=1 / x tildeA(C) uma solução da mesma. (Resp. y(x)=c1x+c2 raizx )

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de Euler-Cauchy 2 x² y’’ + 3 x y’ – y = 0 em x > 0, sabendo que já temos uma solução y₁(x) = 1/x. Vamos usar a técnica de tentar y(x) = xʳ para obter a equação indicial.

Passo 2

Em uma equação de Euler-Cauchy da forma a x² y’’ + b x y’ + c y = 0, a gente supõe y = xʳ. Assim, y’ = r x^{r-1} e y’’ = r(r-1)x^{r-2}.

Passo 3

Substituindo na EDO original:
2x²l(r(r-1)x^r-2r) + 3xl(r x^r-1r) - x^r = 0²

Passo 4

Factorizando x^r em comum e simplificando:
2r(r-1) + 3r - 1 = 0

Passo 5

Essa é a equação indicial. Vamos resolver a equação quadrática:
2r^2 - 2r + 3r - 1 = 2r^2 + r - 1 = 0

Passo 6

As raízes são
r = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34Longrightarrow r1 = tfrac12, r2 = -1

Passo 7

Como as raízes são distintas, a solução geral é
y(x) = C1 x^r1 + C2 x^r2 = C1 x^1/2 + C2 x^-1

Resposta

y(x)=\frac{C_1}{x}+C_2\sqrt{x}

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