Resolva as seguintes equações de Cauchy-Euler:
a)
Resp.
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
A equação de Cauchy–Euler tem a forma geral
e a técnica é assumir uma solução do tipo
. Substituindo nessa equação obtemos a equação indicial
que determina os expoentes
.
Passo 2
Para o item (a) temos
e
. A equação indicial é
isto é
Resolvendo:
Logo a solução geral é
$$
y(x) = c_1 x^{0{,}5} + c_2 x^{-1} = c_1\sqrt{x} + \frac{c_2}{x}.$$
Passo 3
No item (b) temos
e
. A equação indicial fica
que é uma raiz dupla
. Para raiz dupla de Cauchy–Euler a solução é
$$
y(x) = (c_1 + c_2\ln x)x^3.$$
Passo 4
No item © temos
e
. A indicial é
O discriminante é negativo (
), dando raízes complexas
Para raízes
a solução é
Aqui
e
, resultando em
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)