Resolva as seguintes equações de Cauchy-Euler:
a) x^2 y^prime prime+1,5 x y^prime-0,5 y=0( Resp. y(x)=c1 raizx+c2x)
b) x^2 y^prime prime-5 x y^prime+9 y=0(Resp y(x)=(c1+c2 ln x) x^m)
c) x^2 y^prime prime+0,6 x y^prime+16,04 y=0(Resp y(x)=x^0,2(A cos (4 ln x)+B sin (4 ln x)))

Passo 1

A equação de Cauchy–Euler tem a forma geral
x^2 y'' + a x y' + b y = 0
e a técnica é assumir uma solução do tipo y=x^m. Substituindo nessa equação obtemos a equação indicial
m(m-1) + a m + b = 0
que determina os expoentes m.

Passo 2

Para o item (a) temos a=1,5 e b=-0,5. A equação indicial é
m(m-1) + 1,5m - 0,5 = 0
isto é
m^2 + 0,5m - 0,5 = 0
Resolvendo:
m = -0,5 pm raiz0,25 + 22 = 0,5,,-1
Logo a solução geral é
$$
y(x) = c_1 x^{0{,}5} + c_2 x^{-1} = c_1\sqrt{x} + \frac{c_2}{x}.$$

Passo 3

No item (b) temos a=-5 e b=9. A equação indicial fica
m(m-1) - 5m + 9 = 0 Longrightarrow m^2 - 6m + 9 = 0
que é uma raiz dupla m=3. Para raiz dupla de Cauchy–Euler a solução é
$$
y(x) = (c_1 + c_2\ln x)x^3.$$

Passo 4

No item © temos a=0,6 e b=16,04. A indicial é
m(m-1) + 0,6m + 16,04 = 0 Longrightarrow m^2 - 0,4m + 16,04 = 0
O discriminante é negativo ( -64), dando raízes complexas
m = 0,2 pm 4i
Para raízes alpha pm ibeta a solução é
y(x) = x^alphal(Acos(betaln x)+Bsin(betaln x)r)
Aqui alpha=0,2 e beta=4, resultando em
y(x) = x^0,2l(Acos(4ln x)+Bsin(4ln x)r)

Resposta

a) y(x)=c1raizx+tfracc2x
b) y(x)=(c1+c2ln x)x^3
c) y(x)=x^0,2l(Acos(4ln x)+Bsin(4ln x)r)

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