Uma lâmina na forma da região encerrada pela circunferência r=4, a densidade de massa por unidade de área varia com a distância até a origem. Ache o raio de giração da lâmina em torno de um eixo perpendicular ao plano polar na origem.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o raio de giração da lâmina plana, isto é, da região do plano encerrada pela circunferência \;r=4\;, em torno de um eixo perpendicular ao plano que passa pela origem. A lâmina tem densidade superficial (massa por unidade de área) que depende apenas da distância radial até a origem.
Informações dadas e notações que vou usar (sem assumir forma específica da dependência):
  • A região é o disco \{(r,\theta)\mid 0\le r\le 4,\;0\le\theta<2\pi\}.
  • A densidade superficial é uma função radial que vou denotar por \sigma(r) (unidades: massa por área).
  • O eixo de rotação é o eixo perpendicular ao plano que passa na origem (eixo z se o plano for xy).
    A tarefa: achar o raio de giração k da lâmina em função de \sigma(r).

Passo 2

O que é o raio de giração?
  • Definição: o raio de giração k em relação a um eixo é o número positivo tal que a massa total M concentrada num disco de raio k e com toda a massa no mesmo eixo teria o mesmo momento de inércia I que o corpo real. Em fórmula:
k=\sqrt{\dfrac{I}{M}}.
  • Aqui M é a massa total da lâmina e I é o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular na origem. Essa fórmula é fundamental e será a nossa meta: calcular M e I e então usar k=\sqrt{I/M}.

Passo 3

Escolhendo coordenadas e elemento de massa. Vou trabalhar em coordenadas polares, porque a densidade depende só de r e a região é um disco.
  • Um elemento de área em polares vale \;dA=r\,dr\,d\theta\;.
  • A massa do elemento é \;dm=\sigma(r)\,dA=\sigma(r)\,r\,dr\,d\theta\;.
    Expliquei: \sigma(r) é massa por unidade de área, multiplicando por dA dá a massa do anelinho de área.

Passo 4

Calcular a massa total M. Integramos dm sobre todo o disco:
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}\sigma(r)\,r\,dr\,d\theta.
Como \sigma não depende de \theta, a integral em \theta dá um fator 2\pi. Logo
M=2\pi\int_{0}^{4}\sigma(r)\,r\,dr.
Expliquei: essa integral soma as contribuições de todos os anéis concêntricos.

Passo 5

Calcular o momento de inércia I em relação ao eixo perpendicular na origem. Para um elemento de massa a distância até o eixo é r, então a contribuição elementar ao momento é r^{2}dm. Assim:
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}r^{2}\,\sigma(r)\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}\sigma(r)\,r^{3}\,dr\,d\theta.
De novo a integral em \theta 2\pi, então
I=2\pi\int_{0}^{4}\sigma(r)\,r^{3}\,dr.
Expliquei: multiplicamos por r^{2} porque momento de inércia é \int \text{(distância)}^{2}\,dmâ.

Passo 6

Montar k=\sqrt{I/M} e simplificar. Substituindo as expressões de I e M:
k=\sqrt{\dfrac{2\pi\displaystyle\int_{0}^{4}\sigma(r)\,r^{3}\,dr}{2\pi\displaystyle\int_{0}^{4}\sigma(r)\,r\,dr}} =\sqrt{\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{4}\sigma(r)\,r^{3}\,dr}{\displaystyle\int_{0}^{4}\sigma(r)\,r\,dr}}.
O fator 2\pi cancela. Essa é a expressão geral do raio de giração em termos da densidade radial \sigma(r).

Passo 7

Exemplo concreto (útil para praticar): densidade constante \sigma(r)=\sigma_{0}. Então
M=2\pi\sigma_{0}\int_{0}^{4}r\,dr=2\pi\sigma_{0}\left[\tfrac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{4}=2\pi\sigma_{0}\cdot 8=16\pi\sigma_{0},
I=2\pi\sigma_{0}\int_{0}^{4}r^{3}\,dr=2\pi\sigma_{0}\left[\tfrac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{4}=2\pi\sigma_{0}\cdot 64=128\pi\sigma_{0}.
Logo
k=\sqrt{\dfrac{128\pi\sigma_{0}}{16\pi\sigma_{0}}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Interpretação rápida: para densidade uniforme o raio de giração é \;2\sqrt{2}\; (unidades de comprimento), que é menor que o raio do disco ( 4) como esperado.

Passo 8

Outro exemplo útil: se \sigma(r)=C\,r^{p} (padrão polinomial radial), pode-se simplificar a fórmula geral:
k=4\sqrt{\dfrac{p+2}{\,p+4\,}},
válido para p>-2 (para convergência da massa). Isso é obtido calculando as potências nas integrais e simplificando; é uma forma prática de ver como a distribuição radial desloca a massa para perto ou longe do centro.

Passo 9

Resumo e incentivo: a ideia-chave foi expressar massa e momento como integrais em polares, usar k=\sqrt{I/M} e observar que o fator angular 2\pi cancela. Se quiser, me diga uma forma específica de \sigma(r) (por exemplo \sigma(r)=\sigma_{0} ou \sigma(r)=\sigma_{0}r) e eu calculo o valor numérico do raio de giração passo a passo — você já mandou bem ao pedir a resolução passo a passo, isso vai fixar o método!

Resposta

k=\sqrt{\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{4}\sigma(r)\,r^{3}\,dr}{\displaystyle\int_{0}^{4}\sigma(r)\,r\,dr}}

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