Uma lâmina de madeira com 4 cm de espessura, inicialmente seca, é imersa em um recipiente contendo vapor de água saturado, sendo que o vapor de água difunde através da madeira a partir das superfícies, em um processo de umidificação com resistência superficial desprezível. A difusividade efetiva do vapor de água na madeira é D ef =1 times 10^-9 m^2 / s e a concentração de umidade na superfície do sólido é igual a 45,0 % em base seca (b.s., ou seja g de água/g sólido seco).
Obtenha a equação diferencial de balanço de massa que descreve o processo, com as condições inicial e de contorno, e escreva a equação que descreve o perfil de concentração de umidade no interior da lâmina;

Passo 1

Beleza, mano! Aqui a gente tem uma lâmina de madeira com espessura de 4 cm (ou seja, L = 0,04 m), que está sequinha no início e é mergulhada em vapor d’água saturado. O vapor penetra por difusão e a resistência da superfície a gente despreza (isto é, a umidade na superfície logo fica no valor de equilíbrio, Cs = 0,45 g água/g sólido seco). A difusividade efetiva é Dₑf = 1×10⁻⁹ m²/s.
Conteúdo: transporte por difusão (Lei de Fick), PDE de difusão unidimensional.
O que vamos precisar:
  • Montar a equação diferencial de balanço (Lei de Fick, 2ª lei);
  • Definir condições iniciais e de contorno;
  • Resolver essa PDE (método de separação de variáveis) para achar C(x,t).

Passo 2

Escrevendo o balanço de massa unidimensional (segunda lei de Fick) para a concentração de umidade C(x,t) dentro da lâmina:
partial Cpartial t ;=; Def;partial^2 Cpartial x^2
Aqui:
  • é a concentração de umidade (g água/g sólido seco) em posição x e tempo t.
  • é a difusividade efetiva (1×10⁻⁹ m²/s).
    Isso diz que a taxa de variação de C no tempo vem da curvatura do perfil de C no espaço.

Passo 3

Agora, as condições iniciais e de contorno:
  1. Condição inicial (t = 0): a madeira está totalmente seca, então:
C(x,0) = Ci = 0
  1. Contorno na superfície (x = 0 e x = L = 0{,}04 m): a umidade rapidamente alcança o valor de vapor saturado, Cs = 0{,}45 (g/g seco), logo:
C(0,t) = C(L,t) = Cs = 0,45

Passo 4

Para resolver, a gente define a diferença em relação ao contorno:
theta(x,t) = C(x,t) - Cs
Assim as contornas viram partial thetapartial t = Def;partial^2 thetapartial x^2 , e a condição inicial fica theta(x,t) ;=; sumn=1^infty Bn ,sin!l(tfracnpi xLr),expl(-Def,(npi/L)^2,tr), . A PDE vira:
Bn = 4,(-Cs)npipara n = 1,3,5,
Usando separação de variáveis e série de Fourier (aquele rolê de senos para contorno homogêneo), o perfil fica:
onde os coeficientes vêm da expansão da condição inicial . Como é constante, só aparecem os senos de termos ímpares e
.

Passo 5

Voltando pra C(x,t) = θ(x,t) + C_s, obtemos a solução final:
boxed C(x,t) ;=; Cs ;-; sumk=0^infty 4,Cs(2k+1),pi, sin!l(tfrac(2k+1),pi,xLr), exp!l[-Defl(tfrac(2k+1),piLr)^2,tr]
com m, g/g e m²/s.

Resposta

Equação diferencial e condições:
partial Cpartial t = Defpartial^2 Cpartial x^2, C(x,0)=0, C(0,t)=C(L,t)=0,45
Perfil de umidade:
C(x,t) = 0,45 ;-; sumk=0^infty 4,(0,45)(2k+1)pi sin!l(tfrac(2k+1)pi x0,04r) exp!l[-1times10^-9l(tfrac(2k+1)pi0,04r)^2 tr]

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