Uma lâmina de madeira com 4 cm de espessura, inicialmente seca, é imersa em um recipiente contendo vapor de água saturado, sendo que o vapor de água difunde através da madeira a partir das superfícies, em um processo de umidificação com resistência superficial desprezível. A difusividade efetiva do vapor de água na madeira é
e a concentração de umidade na superfície do sólido é igual a 45,0 % em base seca (b.s., ou seja g de água/g sólido seco).
Obtenha a equação diferencial de balanço de massa que descreve o processo, com as condições inicial e de contorno, e escreva a equação que descreve o perfil de concentração de umidade no interior da lâmina;
Obtenha a equação diferencial de balanço de massa que descreve o processo, com as condições inicial e de contorno, e escreva a equação que descreve o perfil de concentração de umidade no interior da lâmina;
Passo 1
Beleza, mano! Aqui a gente tem uma lâmina de madeira com espessura de 4 cm (ou seja, L = 0,04 m), que está sequinha no início e é mergulhada em vapor d’água saturado. O vapor penetra por difusão e a resistência da superfície a gente despreza (isto é, a umidade na superfície logo fica no valor de equilíbrio, Cs = 0,45 g água/g sólido seco). A difusividade efetiva é Dₑf = 1×10⁻⁹ m²/s.
Conteúdo: transporte por difusão (Lei de Fick), PDE de difusão unidimensional.
O que vamos precisar:
Conteúdo: transporte por difusão (Lei de Fick), PDE de difusão unidimensional.
O que vamos precisar:
- Montar a equação diferencial de balanço (Lei de Fick, 2ª lei);
- Definir condições iniciais e de contorno;
- Resolver essa PDE (método de separação de variáveis) para achar C(x,t).
Passo 2
Escrevendo o balanço de massa unidimensional (segunda lei de Fick) para a concentração de umidade C(x,t) dentro da lâmina:
Aqui:
-
é a concentração de umidade (g água/g sólido seco) em posição x e tempo t. -
é a difusividade efetiva (1×10⁻⁹ m²/s).
Isso diz que a taxa de variação de C no tempo vem da curvatura do perfil de C no espaço.
Passo 3
Agora, as condições iniciais e de contorno:
- Condição inicial (t = 0): a madeira está totalmente seca, então:
- Contorno na superfície (x = 0 e x = L = 0{,}04 m): a umidade rapidamente alcança o valor de vapor saturado, Cs = 0{,}45 (g/g seco), logo:
Passo 4
Para resolver, a gente define a diferença em relação ao contorno:
Assim as contornas viram
, e a condição inicial fica
. A PDE vira:
Usando separação de variáveis e série de Fourier (aquele rolê de senos para contorno homogêneo), o perfil fica:
onde os coeficientes
vêm da expansão da condição inicial
. Como
é constante, só aparecem os senos de termos ímpares e
Passo 5
Voltando pra C(x,t) = θ(x,t) + C_s, obtemos a solução final:
com
m,
g/g e
m²/s.
Resposta
Equação diferencial e condições:
Perfil de umidade: