Um procedimento comum de gaseificação consiste em borbulhar ar através de uma coluna de água. Ar seco a 25^circ C é disperso na forma de bolhas no interior de uma coluna de água. As bolhas absorvem a umidade em um processo controlado pela difusão interna, com resistência superficial ao transporte de massa desprezível. Considere que as bolhas de ar são esferas com raio R=1 mm e se encontram em equilíbrio térmico com a água a 25^circ C. A difusividade do vapor de água no ar a 25^circ C é DAB=0,26 times 10^-4 m^2 / s. Usando a solução analítica, estime quanto tempo as bolhas devem permanecer em contato com a água para alcançar uma concentração de vapor no centro que seja 99 % da concentração de saturação na superfície. Compare com o resultado obtido utilizando a solução gráfica.

Passo 1

Beleza, aqui o que tá rolando: a gente tem bolhas de ar, raio R = 1 mm, mergulhadas na água a 25 °C. O ar começa “seco” (zero de vapor) e, com o tempo, o vapor de água difunde pro interior da bolha até atingir o valor de saturação na superfície. Aí o que pedem é: quanto tempo a bolha tem que “borbulhar” pra que, no seu centro, a concentração de vapor seja 99 % da saturação lá na parede?
Conteúdo: difusão transiente num meio esférico. Vamos usar a solução analítica em série (e depois comparar com o método gráfico). Precisamos da difusividade e do raio .

Passo 2

Teoria aplicada (difusão não estacionária em esfera)
  1. A equação de difusão transiente em coordenadas esféricas (só depende do raio) é partial cpartial t ;=; DAB,1r^2partialpartial rl(r^2partial cpartial rr)
  2. Condições de contorno e iniciais:
    • Inicialmente, Theta(r,t) ;=; 1 ;-; 6pi^2sumn=1^infty 1n^2 exp!l(-DAB,n^2pi^2,t/R^2r), sin(npi r/R)npi r/R (ar seco).
    • Na parede, Theta(0,t) ;=; 1 ;-; 6pi^2sumn=1^infty 1n^2 exp!l(-DAB,n^2pi^2,t/R^2r) (concentração de saturação).
    • No centro, simetria: .
  3. A solução analítica em série para a concentração normalizada
    é No centro ( ) vale

Passo 3

Agora queremos 0,99 ;=; 1 ;-; 6pi^2e^-DABpi^2 t/R^2 Longrightarrow 6pi^2e^-DABpi^2 t/R^2 = 0,01 . A série converge rápido, então dá pra ficar só com e^-DABpi^2 t/R^2 = 0,01,pi^26 Longrightarrow -,DABpi^2R^2t = ln!l(0,01,pi^26r) :
t = -R^2DAB,pi^2,ln!l(0,01,pi^26r)
Isolando :

Passo 4

Bora pôr números:
  • t approx 1times10^-62,6times10^-5,pi^2times 4,103 approx 0,016 s ;=;16 ms .
  • .
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Passo 5

Comparando com o método gráfico (tabelas de Crank ou gráfico de trm gráfico = tau,R^2DAB = 0,5;1times10^-62,6times10^-5 approx 0,019 s ;=;19 ms versus tempo adimensional ), para o costuma estar em torno de 0,5.
Calculando com
á
Deu ali entre 16 ms (série) e 19 ms (gráfico) – bem pertinho!

Resposta

O tempo de contato necessário é cerca de 0,016 s pela solução analítica em série (com 1 termo) e cerca de 0,019 s pelo método gráfico.

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