Um procedimento comum de gaseificação consiste em borbulhar ar através de uma coluna de água. Ar seco a
é disperso na forma de bolhas no interior de uma coluna de água. As bolhas absorvem a umidade em um processo controlado pela difusão interna, com resistência superficial ao transporte de massa desprezível. Considere que as bolhas de ar são esferas com raio
e se encontram em equilíbrio térmico com a água a
. A difusividade do vapor de água no ar a
é
. Usando a solução analítica, estime quanto tempo as bolhas devem permanecer em contato com a água para alcançar uma concentração de vapor no centro que seja
da concentração de saturação na superfície. Compare com o resultado obtido utilizando a solução gráfica.
Passo 1
Beleza, aqui o que tá rolando: a gente tem bolhas de ar, raio R = 1 mm, mergulhadas na água a 25 °C. O ar começa “seco” (zero de vapor) e, com o tempo, o vapor de água difunde pro interior da bolha até atingir o valor de saturação na superfície. Aí o que pedem é: quanto tempo a bolha tem que “borbulhar” pra que, no seu centro, a concentração de vapor seja 99 % da saturação lá na parede?
Conteúdo: difusão transiente num meio esférico. Vamos usar a solução analítica em série (e depois comparar com o método gráfico). Precisamos da difusividade e do raio
.
Conteúdo: difusão transiente num meio esférico. Vamos usar a solução analítica em série (e depois comparar com o método gráfico). Precisamos da difusividade
Passo 2
Teoria aplicada (difusão não estacionária em esfera)
- A equação de difusão transiente em coordenadas esféricas (só depende do raio) é
- Condições de contorno e iniciais:
- Inicialmente,
(ar seco). - Na parede,
(concentração de saturação). - No centro, simetria:
.
- Inicialmente,
- A solução analítica em série para a concentração normalizada
é No centro ( ) vale
Passo 3
Agora queremos
. A série converge rápido, então dá pra ficar só com
:
Isolando
:
Passo 4
Bora pôr números:
-
. -
. -
Logo
Passo 5
Comparando com o método gráfico (tabelas de Crank ou gráfico de
versus tempo adimensional
), para
o
costuma estar em torno de 0,5.
Calculando com
Calculando com
Deu ali entre 16 ms (série) e 19 ms (gráfico) – bem pertinho!
Resposta
O tempo de contato necessário é cerca de 0,016 s pela solução analítica em série (com 1 termo) e cerca de 0,019 s pelo método gráfico.