Uma lâmina ocupa a parte do disco
no primeiro quadrante.
Encontre os momentos de inércia
e
para a lâmina definida em b).
Encontre os momentos de inércia
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os momentos de inércia $ I_x $, $ I_y $ e $ I_o $ de uma lâmina que ocupa a parte do disco $ x^{2} + y^{2} \leq 1 $ no primeiro quadrante. Isso está relacionado ao estudo de Mecânica dos Sólidos, mais especificamente aos momentos de inércia, que nos ajudam a entender como a massa está distribuída em relação a certos eixos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um momento de inércia. Basicamente, o momento de inércia mede a distribuição de massa de um objeto em relação a um eixo de rotação. Existem três momentos que vamos calcular:
- $ I_x $: momento de inércia em relação ao eixo $ x $
- $ I_y $: momento de inércia em relação ao eixo $ y $
- $ I_o $: momento de inércia em relação à origem
Para calcular esses momentos, usaremos as seguintes fórmulas:
Onde $ R $ é a região ocupada pela lâmina, e $ dA $ é um elemento de área.
Passo 3
Como a região $ R $ é o primeiro quadrante do disco $ x^{2} + y^{2} \leq 1 $, podemos usar coordenadas polares para simplificar a integração. Nas coordenadas polares, temos:
E, no primeiro quadrante, os limites para $ \theta $ vão de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $ e para $ r $ de $ 0 $ a $ 1 $.
Passo 4
Vamos calcular $ I_x $ primeiro. Substituindo na fórmula:
Sabemos que:
Aplicando os limites:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ I_y $. De forma semelhante:
Sabemos que:
Aplicando os limites:
Passo 6
Por fim, vamos calcular $ I_o $, que é o momento de inércia em relação à origem. Usamos a fórmula:
Substituindo:
Resposta
Os momentos de inércia para a lâmina são: