Uma lâmina ocupa a parte do disco x^2+y^2 <= 1 no primeiro quadrante.
Encontre os momentos de inércia Ix, Iy e Io para a lâmina definida em b).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os momentos de inércia $ I_x $, $ I_y $ e $ I_o $ de uma lâmina que ocupa a parte do disco $ x^{2} + y^{2} \leq 1 $ no primeiro quadrante. Isso está relacionado ao estudo de Mecânica dos Sólidos, mais especificamente aos momentos de inércia, que nos ajudam a entender como a massa está distribuída em relação a certos eixos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um momento de inércia. Basicamente, o momento de inércia mede a distribuição de massa de um objeto em relação a um eixo de rotação. Existem três momentos que vamos calcular:
  • $ I_x $: momento de inércia em relação ao eixo $ x $
  • $ I_y $: momento de inércia em relação ao eixo $ y $
  • $ I_o $: momento de inércia em relação à origem
Para calcular esses momentos, usaremos as seguintes fórmulas:
Ix
x
Iy
Onde $ R $ é a região ocupada pela lâmina, e $ dA $ é um elemento de área.

Passo 3

Como a região $ R $ é o primeiro quadrante do disco $ x^{2} + y^{2} \leq 1 $, podemos usar coordenadas polares para simplificar a integração. Nas coordenadas polares, temos:
R
x^2 + y^2 <= 1
x = r cos theta
E, no primeiro quadrante, os limites para $ \theta $ vão de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $ e para $ r $ de $ 0 $ a $ 1 $.

Passo 4

Vamos calcular $ I_x $ primeiro. Substituindo na fórmula:
Ix
Ix = integral duplaR y^2 , dA = integral0^pi2 integral0^1 (r sin theta)^2 cdot r , dr , dtheta
= integral0^pi2 sin^2 theta integral0^1 r^3 , dr , dtheta
= integral0^pi2 sin^2 theta [ r^44 ]0^1 , dtheta
Sabemos que:
= 14 integral0^pi2 sin^2 theta , dtheta
Aplicando os limites:
integral sin^2 theta , dtheta = theta2 - sin 2theta4 + C
Ix = 14 [ theta2 - sin 2theta4 ]0^pi2
= 14 ( pi22 - sin pi4 - ( 0 - sin 04 ) )
= 14 ( pi4 - 0 )

Passo 5

Agora, vamos calcular $ I_y $. De forma semelhante:
Iy
Iy = integral duplaR x^2 , dA = integral0^pi2 integral0^1 (r cos theta)^2 cdot r , dr , dtheta
= integral0^pi2 cos^2 theta integral0^1 r^3 , dr , dtheta
Sabemos que:
= 14 integral0^pi2 cos^2 theta , dtheta
Aplicando os limites:
integral cos^2 theta , dtheta = theta2 + sin 2theta4 + C
Iy = 14 [ theta2 + sin 2theta4 ]0^pi2
= 14 ( pi22 + sin pi4 - ( 0 + sin 04 ) )
= 14 ( pi4 + 0 )

Passo 6

Por fim, vamos calcular $ I_o $, que é o momento de inércia em relação à origem. Usamos a fórmula:
Io
Substituindo:
Io = integral duplaR (x^2 + y^2) , dA
Io = integral duplaR r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^1 r^3 , dr , dtheta
= integral0^pi2 [ r^44 ]0^1 , dtheta
= 14 integral0^pi2 1 , dtheta
= 14 [ theta ]0^pi2

Resposta

Os momentos de inércia para a lâmina são:
Ix = pi16, Iy = pi16, Io = pi8

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