A lâmina ocupa a região dentro do círculo x^2+y^2=2 x, mas fora do círculo x^2+y^2=1. Encontre o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua distância da origem.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos uma lâmina que está dentro do círculo $ x^{2} + y^{2} = 2x $, mas fora do círculo $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Nosso objetivo é encontrar o centro de massa dessa lâmina, sabendo que a densidade em qualquer ponto é inversamente proporcional à sua distância da origem.
Conteúdo da matéria: Cálculo de centro de massa para regiões planas com densidade variável.
O que vamos precisar: Conhecimentos de geometria dos círculos, coordenadas polares, e integrais duplas para calcular massa e centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as equações dos círculos. A equação $ x^{2} + y^{2} = 2x $ pode ser reescrita completando o quadrado:
x^2 + y^2 = 2x
Isso representa um círculo com centro em x^2 - 2x + y^2 = 0 implies (x - 1)^2 + y^2 = 1 e raio 1. Já a equação $ x^{2} + y^{2} = 1 $ é um círculo com centro na origem (1, 0) e também raio 1. Portanto, a lâmina está na região entre esses dois círculos.

Passo 3

Como a densidade $ \rho $ é inversamente proporcional à distância da origem, podemos expressá-la como:
rho
onde $ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ é a distância do ponto rho = kr à origem, e $ k $ é uma constante de proporcionalidade.

Passo 4

O centro de massa $ (\overline{x}, \overline{y}) $ é dado por:
(x, y)
x = 1M integral duplaA x rho , dA
onde $ M $ é a massa total da lâmina:
y = 1M integral duplaA y rho , dA

Passo 5

Observando a simetria da região, percebemos que ela é simétrica em relação ao eixo $ x $. Isso significa que a coordenada $ \overline{y} $ será zero, ou seja, $ \overline{y} = 0 $. Portanto, precisamos apenas calcular $ \overline{x} $.

Passo 6

Para facilitar os cálculos, vamos utilizar coordenadas polares, onde:
x = r cos theta, y = r sin theta
dA = r , dr , dtheta
Substituindo na expressão da densidade:
rho = kr

Passo 7

A massa total $ M $ fica:
M
Agora, precisamos determinar os limites de integração. A região está entre $ r = 1 $ (círculo interno) e $ r = 2\cos\theta $ (círculo externo reescrito em coordenadas polares). O ângulo $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 8

Calculando a massa total:
M = k integral-pi2^pi2 integral1^2costheta dr , dtheta = k integral-pi2^pi2 (2costheta - 1) , dtheta

Passo 9

Resolvendo a integral em $ \theta $:
theta

Passo 10

Agora, vamos calcular $ \overline{x} $:
x

Passo 11

Resolvendo a integral interna em $ r $:
r

Passo 12

Substituindo na expressão de $ \overline{x} $:
x

Passo 13

Calculando as integrais:
Sabemos que:
integral-pi2^pi2 costheta , dtheta = 2
Para a integral de $ \cos^{3}\theta $, usamos a identidade:
cos^3theta
Assim:
cos^3theta = costheta (1 - sin^2theta)
Portanto:
integral cos^3theta , dtheta = integral costheta , dtheta - integral costheta sin^2theta , dtheta = 2 - 23 = 43

Passo 14

Substituindo $ M = k(4 - \pi) $:
M = k(4 - pi)
Simplificando:
x = k cdot 53k(4 - pi) = 53(4 - pi) = 512 - 3pi

Resposta

O centro de massa da lâmina está em $ \left( \dfrac{5}{3(4 - \pi)},\ 0 \right) $.

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