Em cada item, determine o gradiente da função f.
(f) f(x, y, z)=x^2 y+y^2 z.

Passo 1

Vamos lá: temos a função f(x,y,z)=x^2y+y^2z. O que a gente quer aqui é o gradiente, que nada mais é do que o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x, y e z. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial e a regra de potência para polinômios.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada parcial em relação a x. Nesse caso, tratamos y e z como constantes. Derivando termo a termo, x^2y vira 2xy e y^2z é constante (derivada zero). Então temos:
partial fpartial x=2xy
Agora, a derivada parcial em relação a y. Aqui x e z são constantes. Derivando x^2y em y x^2, e derivando y^2z 2yz. Assim:
partial fpartial y=x^2+2yz

Passo 3

Em seguida, a derivada parcial em relação a z. Dessa vez, x e y ficam constantes. Derivando x^2y em z é zero e derivando y^2z em z y^2. Logo:
partial fpartial z=y^2

Passo 4

Com as três derivadas parciais em mãos, basta organizá-las na forma de vetor para obter o gradiente.

Resposta

nabla f(x,y,z)=(2xy,;x^2+2yz,;y^2)

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