Uma lâmina tem a forma de um semidisco
de raio a. A densidade superficial no ponto P é proporcional à distância do ponto ao centro do disco. Determine o valor da constante de proporcionalidade se a massa do semidisco é igual a
u.m.
Passo 1
O enunciado diz que temos um semidisco de raio
com densidade superficial
que é proporcional à distância
do ponto ao centro, ou seja
. Precisamos usar integração em coordenadas polares para calcular a massa total e então achar
dado que a massa é
.
Passo 2
Em coordenadas polares, um elemento de área é
. Logo, a massa total é
Passo 3
Calculando a integral em
e em
:
Passo 4
Assim a massa fica
. Como nos deram
, igualamos e resolvemos para
.
Resposta
3