Uma lâmina tem a forma de um semidisco D de raio a. A densidade superficial no ponto P é proporcional à distância do ponto ao centro do disco. Determine o valor da constante de proporcionalidade se a massa do semidisco é igual a pi a^3 u.m.

Passo 1

O enunciado diz que temos um semidisco de raio a com densidade superficial sigma(P) que é proporcional à distância r do ponto ao centro, ou seja sigma(r)=k,r. Precisamos usar integração em coordenadas polares para calcular a massa total e então achar k dado que a massa é pi a^3.

Passo 2

Em coordenadas polares, um elemento de área é dA=r,dr,dtheta. Logo, a massa total é
M=integral duplaDsigma(r),dA=integral duplaDk,r;r,dr,dtheta=kintegral0^piintegral0^ar^2,dr,dtheta

Passo 3

Calculando a integral em r e em theta:
integral0^pidthetaintegral0^ar^2,dr=picdota^33=pi a^33

Passo 4

Assim a massa fica M=k,pi a^33. Como nos deram M=pi a^3, igualamos e resolvemos para k.

Resposta

3

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