Uma lâmina delgada tem a forma da região D que é interior à circunferência x^2+(y-2)^2=4 e exterior à circunferência x^2+y^2=4. Calcule a massa da lâmina se a densidade é dada por
de

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma lâmina cuja região D é o interior da circunferência x^2+(y-2)^2=4 e o exterior da circunferência x^2+y^2=4, com densidade de. Vamos usar coordenadas polares para transformar a integral dupla e facilitar a conta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. A densidade vira de. A região x^2+y^2=4 vira r=2 e a circunferência x^2+(y-2)^2=4 vira
r^2-4rsintheta+4=4implies r<=4sintheta

Passo 3

Para que r>=2 e r<=4sintheta haja solução, precisamos de 4sintheta>=2, ou seja sintheta>=1/2. Logo
thetain[pi/6,5pi/6], 2<= r<=4sintheta

Passo 4

Na integral a montar temos
integral duplaDde

Passo 5

Integrando em r obtemos
integral2^4sintheta1,dr=4sintheta-2

Passo 6

Agora integramos em theta:
integralpi/6^5pi/6(4sintheta-2),dtheta=l[-4costheta-2thetar]pi/6^5pi/6=4raiz3-tfrac4pi3

Resposta

A massa da lâmina é 4raiz3-tfrac4pi3.

Exercícios relacionados