Numa lâmina verificou-se que existiam em média 8 bactérias
. A lâmina foi subdividida em 300 quadrados de
. Em quantos destes quadrados você espera encontrar no máximo 3 bactéria? Qual é a probabilidade de se encontrar mais de 6 bactérias por centímetro quadrado? Usar a aproximação normal e comparar os resultados com os valores exatos das probabilidades obtidas pela distribuição Poisson.
Passo 1
O enunciado diz que, em média, há
bactérias por
numa lâmina. A lâmina foi dividida em
quadrados de
. Perguntas que precisamos responder:
- Em quantos desses
quadrados se espera encontrar, no máximo, bactérias? (Queremos usar a aproximação normal e também fornecer o valor exato pela Poisson.) - Qual é a probabilidade de encontrar mais de
bactérias por ? (Novamente: aproximação normal e valor exato pela Poisson.)
Informações dadas e importantes para usar: a média por quadrado é; número de quadrados .
Passo 2
Modelo probabilístico e por que usar:
- Quando o número médio de ocorrências em uma unidade fixa é
e os eventos são raros/independentes por unidade, usa-se a distribuição de Poisson com parâmetro . A probabilidade exata de obter exatamente bactérias em é dada por
onde
é a variável aleatória número de bactérias,
,
. A média e a variância da Poisson são ambas
.
- A Poisson é assimétrica para
pequeno, mas quando é moderadamente grande (regra prática: por volta de – ou mais) podemos aproximar por uma normal . Para melhorar a aproximação discreta→contínua usamos a correção de continuidade (por ex., ).
Vou calcular primeiro as probabilidades exatas (Poisson) e depois as aproximações normais com correção de continuidade, explicando cada passo.
Passo 3
Cálculo exato (Poisson) de
— probabilidade de no máximo
bactérias por
.
Usamos . Computamos
para
e somamos.
Usamos
Calculemos termos:
Somando:
Esse é o valor exato (com precisão numérica indicada). Agora, entre
quadrados, o número esperado de quadrados com no máximo
bactérias é
Interpretando: espera-se cerca de
quadrados (arredondando, aproximadamente
quadrados).
Passo 4
Aproximação normal para
com correção de continuidade.
- Aproximamos
por , logo . - Para
aplicamos correção de continuidade: .
Calculemos o-score:
Usando a tabela da normal padrão:
Portanto, pela normal aproximada
e o número esperado de quadrados (entre
) é
Comparação imediata: Poisson exato deu
quadrados esperados; aproximação normal deu
quadrados — a aproximação superestimou a probabilidade de
(erro relativo considerável). Isso ocorre porque
é só moderado e a cauda esquerda é afetada pela assimetria da Poisson.
Passo 5
Cálculo exato (Poisson) de
— probabilidade de mais de
bactérias por
.
Temos . Já calculamos até
. Vamos calcular
usando a relação
.
Partindo de :
Temos
Partindo de
Somando tudo até
:
Logo
Passo 6
Aproximação normal para
.
-
. Com correção de continuidade, com . - Calcule o
-score:
Comparação: Poisson exata deu
; aproximação normal deu
. Aqui a aproximação é razoavelmente boa (erro absoluto cerca de
, ou erro relativo de cerca de
). Para caudas à direita próximas à média, a aproximação funciona melhor do que para caudas muito à esquerda quando
é apenas moderado.
Passo 7
Resumo interpretativo e dica de prova:
- A Poisson com
é legítima para o modelo; a aproximação normal funciona melhor para probabilidades centradas ou para caudas à direita moderadas, e pior para caudas à esquerda mais extremas quando não é muito grande. - Regra prática: se
fosse (ou maior), a aproximação normal seria ainda mais confiável; com ela é tolerável para alguns cálculos, mas pode errar de forma significativa em probabilidades pequenas (como ).
Resposta
Número de quadrados com no máximo
bactérias:
aproximação normal: (≈
quadrados);
valor exato (Poisson): (≈
quadrados).
aproximação normal:
valor exato (Poisson):
Probabilidade de mais de
bactérias por
:
aproximação normal: ;
valor exato (Poisson): (≈
).
aproximação normal:
valor exato (Poisson):