Numa lâmina verificou-se que existiam em média 8 bactérias / \mathrm{cm}^{2}. A lâmina foi subdividida em 300 quadrados de 1 \mathrm{~cm}^{2}. Em quantos destes quadrados você espera encontrar no máximo 3 bactéria? Qual é a probabilidade de se encontrar mais de 6 bactérias por centímetro quadrado? Usar a aproximação normal e comparar os resultados com os valores exatos das probabilidades obtidas pela distribuição Poisson.

Passo 1

O enunciado diz que, em média, há 8 bactérias por 1\\ \mathrm{cm}^2 numa lâmina. A lâmina foi dividida em 300 quadrados de 1\\ \mathrm{cm}^2. Perguntas que precisamos responder:
  1. Em quantos desses 300 quadrados se espera encontrar, no máximo, 3 bactérias? (Queremos usar a aproximação normal e também fornecer o valor exato pela Poisson.)
  2. Qual é a probabilidade de encontrar mais de 6 bactérias por \mathrm{cm}^2? (Novamente: aproximação normal e valor exato pela Poisson.)
    Informações dadas e importantes para usar: a média por quadrado é \lambda=8; número de quadrados n=300.

Passo 2

Modelo probabilístico e por que usar:
  • Quando o número médio de ocorrências em uma unidade fixa é \lambda e os eventos são raros/independentes por unidade, usa-se a distribuição de Poisson com parâmetro \lambda. A probabilidade exata de obter exatamente k bactérias em 1\\ \mathrm{cm}^2 é dada por
P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},
onde X é a variável aleatória número de bactérias, \lambda=8, k\in\{0,1,2,\dots\}. A média e a variância da Poisson são ambas \lambda.
  • A Poisson é assimétrica para \lambda pequeno, mas quando \lambda é moderadamente grande (regra prática: \lambda por volta de 5 10 ou mais) podemos aproximar X por uma normal Y\sim N(\mu=\lambda,\\ \sigma^2=\lambda). Para melhorar a aproximação discreta→contínua usamos a correção de continuidade (por ex., P(X\le 3)\approx P(Y\le 3{,}5)).
    Vou calcular primeiro as probabilidades exatas (Poisson) e depois as aproximações normais com correção de continuidade, explicando cada passo.

Passo 3

Cálculo exato (Poisson) de P(X\le 3) — probabilidade de no máximo 3 bactérias por \mathrm{cm}^2.
Usamos \lambda=8. Computamos P(X=k) para k=0,1,2,3 e somamos.
P(X=k)=\frac{8^k e^{-8}}{k!}.
Calculemos termos:
P(X=0)=e^{-8}=0{,}0003354626,
P(X=1)=8e^{-8}=0{,}0026837010,
P(X=2)=\frac{8^2}{2!}e^{-8}=32e^{-8}=0{,}0107348039,
P(X=3)=\frac{8^3}{3!}e^{-8}= \frac{512}{6}e^{-8}=0{,}0286261424.
Somando:
P(X\le 3)=0{,}0003354626+0{,}0026837010+0{,}0107348039+0{,}0286261424=0{,}0423801099.
Esse é o valor exato (com precisão numérica indicada). Agora, entre 300 quadrados, o número esperado de quadrados com no máximo 3 bactérias é
300\times P(X\le 3)=300\times 0{,}0423801099=12{,}7140330.
Interpretando: espera-se cerca de 12{,}714 quadrados (arredondando, aproximadamente 13 quadrados).

Passo 4

Aproximação normal para P(X\le 3) com correção de continuidade.
  • Aproximamos X por Y\sim N(\mu=8,\sigma^2=8), logo \sigma=\sqrt{8}=2{,}8284271.
  • Para P(X\le 3) aplicamos correção de continuidade: P(X\le 3)\approx P(Y\le 3{,}5).
    Calculemos o z-score:
z=\frac{3{,}5-8}{\sqrt{8}}=\frac{-4{,}5}{2{,}8284271}=-1{,}590.
Usando a tabela da normal padrão:
P(Y\le 3{,}5)\approx \Phi(-1{,}590)=0{,}0559.
Portanto, pela normal aproximada
P(X\le 3)\approx 0{,}0559,
e o número esperado de quadrados (entre 300) é
300\times 0{,}0559=16{,}77.
Comparação imediata: Poisson exato deu 12{,}714 quadrados esperados; aproximação normal deu 16{,}77 quadrados — a aproximação superestimou a probabilidade de X\le3 (erro relativo considerável). Isso ocorre porque \lambda=8 é só moderado e a cauda esquerda é afetada pela assimetria da Poisson.

Passo 5

Cálculo exato (Poisson) de P(X>6) — probabilidade de mais de 6 bactérias por \mathrm{cm}^2.
Temos P(X>6)=1-P(X\le 6). Já calculamos até k=3. Vamos calcular P(X=4),P(X=5),P(X=6) usando a relação P_{k+1}=P_k\frac{\lambda}{k+1}.
Partindo de P(X=3)=0{,}0286261424:
P(X=4)=P(X=3)\frac{8}{4}=0{,}0286261424\times 2=0{,}0572522848,
P(X=5)=P(X=4)\frac{8}{5}=0{,}0572522848\times 1{,}6=0{,}0916036557,
P(X=6)=P(X=5)\frac{8}{6}=0{,}0916036557\times 1{,}3333333=0{,}1221382076.
Somando tudo até 6:
P(X\le 6)=0{,}0423801099+0{,}0572522848+0{,}0916036557+0{,}1221382076=0{,}3133742589.
Logo
P(X>6)=1-0{,}3133742589=0{,}6866257411\approx 0{,}6866.

Passo 6

Aproximação normal para P(X>6).
  • P(X>6)=P(X\ge 7). Com correção de continuidade, P(X\ge 7)\approx P(Y\ge 6{,}5) com Y\sim N(8,8).
  • Calcule o z-score:
z=\frac{6{,}5-8}{\sqrt{8}}=\frac{-1{,}5}{2{,}8284271}=-0{,}5303.
P(Y\ge 6{,}5)=1-\Phi(-0{,}5303)=\Phi(0{,}5303)\approx 0{,}703.
Comparação: Poisson exata deu 0{,}6866; aproximação normal deu 0{,}703. Aqui a aproximação é razoavelmente boa (erro absoluto cerca de 0{,}0164, ou erro relativo de cerca de 2{,}4\%). Para caudas à direita próximas à média, a aproximação funciona melhor do que para caudas muito à esquerda quando \lambda é apenas moderado.

Passo 7

Resumo interpretativo e dica de prova:
  • A Poisson com \lambda=8 é legítima para o modelo; a aproximação normal funciona melhor para probabilidades centradas ou para caudas à direita moderadas, e pior para caudas à esquerda mais extremas quando \lambda não é muito grande.
  • Regra prática: se \lambda fosse \ge 10 (ou maior), a aproximação normal seria ainda mais confiável; com \lambda=8 ela é tolerável para alguns cálculos, mas pode errar de forma significativa em probabilidades pequenas (como P(X\le3)).

Resposta

Número de quadrados com no máximo 3 bactérias:
aproximação normal: 300\times 0{,}0559=16{,}77 (≈ 16{,}8 quadrados);
valor exato (Poisson): 300\times 0{,}0423801099=12{,}7140330 (≈ 12{,}7 quadrados).
Probabilidade de mais de 6 bactérias por \mathrm{cm}^2:
aproximação normal: P(X>6)\approx 0{,}703;
valor exato (Poisson): P(X>6)=0{,}6866257411 (≈ 0{,}6866).

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