Suponha que X (V.A. discreta) represente o número de animais doentes de uma determinada raça. Sabe-se que esta doença é controlada geneticamente e que ataca 1 / 4 da raça. Numa amostra de n=50 animais, utilizando a distribuição binomial (exata) e a aproximação normal, determinar:
A probabilidade de haver na amostra menos de 10 animais doentes?

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta X que representa o número de animais doentes numa amostra de n=50 animais. Sabe-se que a probabilidade de um animal ser doente é 1/4. A pergunta é: qual é a probabilidade de haver na amostra menos de 10 animais doentes?
Informações relevantes listadas:
  • Tamanho da amostra: n=50.
  • Probabilidade de sucesso (animal doente): p=\tfrac{1}{4}.
  • Evento pedido: “menos de 10 animais doentes”, isto é, X<10, que em termos discretos equivale a X\le 9.
  • Deve-se calcular a probabilidade usando (a) a distribuição binomial exata e (b) a aproximação normal.

Passo 2

Breve aula sobre a distribuição binomial (o que vamos usar para a parte exata).
  • Quando temos n ensaios independentes, cada um com probabilidade p de “sucesso” (aqui: animal doente), a contagem X de sucessos segue a distribuição binomial X\sim\mathrm{Bin}(n,p).
  • A função massa de probabilidade (pmf) é dada por
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} conta o número de maneiras de ter exatamente k sucessos.
  • Para obter P(X\le 9) somamos P(X=0)+P(X=1)+\dots+P(X=9).

Passo 3

Parâmetros numéricos e transformação do evento:
  • n=50, p=\tfrac{1}{4}=0,25.
  • Queremos P(X<10)=P(X\le 9)=\sum_{k=0}^{9} \binom{50}{k} (0,25)^k (0,75)^{50-k}.
    Explico um truque prático para calcular essa soma sem lidar diretamente com fatoriais enormes: usamos a relação recursiva entre probabilidades consecutivas:
P(X=k+1)=P(X=k)\cdot \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}.
Isso permite calcular P(X=0) (fácil) e depois gerar P(X=1),P(X=2),\dots multiplicando por fatores sucessivos.

Passo 4

Cálculo das probabilidades P(X=k) para k=0,\dots,9 usando a relação recursiva. Primeiro, P(X=0)=(1-p)^{50}=(0,75)^{50}. Vou calcular numericamente passo a passo (arredondei levemente os valores intermediários para manter as contas claras; o resultado final terá precisão adequada):
  1. Calcule P(X=0)=(0,75)^{50}. Usando logaritmos e exponenciação (ou uma calculadora), obtemos aproximadamente
P(X=0)\approx 0,000000568.
  1. Fator geral entre P(X=k+1) e P(X=k) é \dfrac{50-k}{k+1}\cdot\dfrac{1}{3} (pois p/(1-p)=(1/4)/(3/4)=1/3). Agora aplicamos repetidamente:
  • P(X=1)=P(X=0)\cdot \dfrac{50}{1}\cdot\dfrac{1}{3}\approx 0,000009467.
  • P(X=2)=P(X=1)\cdot \dfrac{49}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\approx 0,00007731.
  • P(X=3)=P(X=2)\cdot \dfrac{48}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\approx 0,000412.
  • P(X=4)=P(X=3)\cdot \dfrac{47}{4}\cdot\dfrac{1}{3}\approx 0,001613.
  • P(X=5)=P(X=4)\cdot \dfrac{46}{5}\cdot\dfrac{1}{3}\approx 0,004948.
  • P(X=6)=P(X=5)\cdot \dfrac{45}{6}\cdot\dfrac{1}{3}\approx 0,012370.
  • P(X=7)=P(X=6)\cdot \dfrac{44}{7}\cdot\dfrac{1}{3}\approx 0,025920.
  • P(X=8)=P(X=7)\cdot \dfrac{43}{8}\cdot\dfrac{1}{3}\approx 0,046440.
  • P(X=9)=P(X=8)\cdot \dfrac{42}{9}\cdot\dfrac{1}{3}\approx 0,072220.
(Se quiser, na prova você pode fazer essa sequência com uma calculadora, guardando cada P(X=k) e multiplicando pelo fator indicado para obter o próximo.)

Passo 5

Somando os termos para obter P(X\le 9) (binomial exata). Somamos os valores obtidos:
\begin{aligned} P(X\le 9)&=\sum_{k=0}^{9} P(X=k)\\\ &\approx 0,000000568+0,000009467+0,00007731+0,000412+0,001613\\\ &\quad+0,004948+0,012370+0,025920+0,046440+0,072220\\\ &\approx 0,164010\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}
Arredondando para quatro casas decimais: P(X\le 9)\approx 0,1640.

Passo 6

Aproximação normal (a aula rápida sobre quando e como usar):
  • Para X\sim\mathrm{Bin}(n,p) com n relativamente grande, a distribuição pode ser aproximada por uma normal com média \mu=np e variância \sigma^2=np(1-p). Aqui,
\mu=np=50\cdot 0,25=12,5,
\sigma^2=np(1-p)=50\cdot 0,25\cdot 0,75=9,375,
\sigma=\sqrt{9,375}\approx 3,06186.
  • Como X é discreta, usamos correção de continuidade. Queremos P(X\le 9), que approximamos por P\big(Y\le 9,5\big) onde Y é normal N(\mu,\sigma^2).
  • Calculamos o escore padrão (z):
z=\frac{9,5-\mu}{\sigma}=\frac{9,5-12,5}{3,06186}=\frac{-3}{3,06186}\approx -0,98058.
  • A probabilidade procurada é P(Z\le -0,98058) para Z\sim N(0,1). Usando tabela da normal ou calculadora:
P(Z\le -0,98058)\approx 0,1635.

Passo 7

Interpretação e comparação:
  • Resultado exato (binomial): aproximadamente 0,1640.
  • Aproximação normal com correção de continuidade: aproximadamente 0,1635.
    Os dois valores são muito próximos, o que mostra que a aproximação normal é boa neste caso (n razoavelmente grande e p não muito extremo).

Resposta

Binomial (exata): 0,1640
Aproximação normal: 0,1635

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