Suponha que
(V.A. discreta) represente o número de animais doentes de uma determinada raça. Sabe-se que esta doença é controlada geneticamente e que ataca
da raça. Numa amostra de
animais, utilizando a distribuição binomial (exata) e a aproximação normal, determinar:
A probabilidade de haver na amostra menos de 10 animais doentes?
A probabilidade de haver na amostra menos de 10 animais doentes?
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória discreta
que representa o número de animais doentes numa amostra de
animais. Sabe-se que a probabilidade de um animal ser doente é
. A pergunta é: qual é a probabilidade de haver na amostra menos de 10 animais doentes?
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Tamanho da amostra:
. - Probabilidade de sucesso (animal doente):
. - Evento pedido: “menos de 10 animais doentes”, isto é,
, que em termos discretos equivale a . - Deve-se calcular a probabilidade usando (a) a distribuição binomial exata e (b) a aproximação normal.
Passo 2
Breve aula sobre a distribuição binomial (o que vamos usar para a parte exata).
- Quando temos
ensaios independentes, cada um com probabilidade de “sucesso” (aqui: animal doente), a contagem de sucessos segue a distribuição binomial . - A função massa de probabilidade (pmf) é dada por
onde
conta o número de maneiras de ter exatamente
sucessos.
- Para obter
somamos .
Passo 3
Parâmetros numéricos e transformação do evento:
-
, . - Queremos
Explico um truque prático para calcular essa soma sem lidar diretamente com fatoriais enormes: usamos a relação recursiva entre probabilidades consecutivas:
Isso permite calcular
(fácil) e depois gerar
multiplicando por fatores sucessivos.
Passo 4
Cálculo das probabilidades
para
usando a relação recursiva. Primeiro,
. Vou calcular numericamente passo a passo (arredondei levemente os valores intermediários para manter as contas claras; o resultado final terá precisão adequada):
- Calcule
. Usando logaritmos e exponenciação (ou uma calculadora), obtemos aproximadamente
- Fator geral entre
e é (pois ). Agora aplicamos repetidamente:
(Se quiser, na prova você pode fazer essa sequência com uma calculadora, guardando cada
e multiplicando pelo fator indicado para obter o próximo.)
Passo 5
Somando os termos para obter
(binomial exata). Somamos os valores obtidos:
Arredondando para quatro casas decimais:
.
Passo 6
Aproximação normal (a aula rápida sobre quando e como usar):
- Para
com relativamente grande, a distribuição pode ser aproximada por uma normal com média e variância . Aqui,
- Como
é discreta, usamos correção de continuidade. Queremos , que approximamos por onde é normal . - Calculamos o escore padrão (z):
- A probabilidade procurada é
para . Usando tabela da normal ou calculadora:
Passo 7
Interpretação e comparação:
- Resultado exato (binomial): aproximadamente
. - Aproximação normal com correção de continuidade: aproximadamente
.
Os dois valores são muito próximos, o que mostra que a aproximação normal é boa neste caso (n razoavelmente grande enão muito extremo).
Resposta
Binomial (exata):
Aproximação normal:
Aproximação normal: