A nota de um teste de escolaridade tem distribuição normal com média 60 e variância 100.
(a) Qual é a probabilidade de um indivíduo, submetido ao teste, ter nota entre 40 e 50 ?
(b) Se
dos alunos mais adiantados receberão nota A, determine a nota mínima para um aluno receber A.
(a) Qual é a probabilidade de um indivíduo, submetido ao teste, ter nota entre 40 e 50 ?
(b) Se
Passo 1
O enunciado dá que a nota
de um teste tem distribuição normal com média
e variância
. São feitas duas perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de um aluno ter nota entre e
?
(b) Os dos alunos mais adiantados recebem nota A — determine a nota mínima
para receber A (ou seja, o menor
tal que apenas
têm nota maior que
).
Dados relevantes listados: ,
(portanto
é conhecido), intervalos e percentil pedido.
(a) Qual é a probabilidade de um aluno ter nota entre
(b) Os
Dados relevantes listados:
Passo 2
Vou primeiro transformar o problema para a forma padrão que usamos com a Normal padrão. Explico a ideia básica: se
é normal com média
e desvio padrão
, então a variável padronizada
tem a distribuição Normal padrão, isto é, média
e variância
. Aqui
. Essa transformação serve para usar tabelas ou valores já conhecidos da Normal padrão
.
Passo 3
Parte (a): queremos
. Padronizando os extremos:
Logo
Agora precisamos dos valores da função de distribuição acumulada da Normal padrão,
.
Passo 4
Explico como usar propriedades da Normal padrão e tabela: a Normal é simétrica, então
. Valores de tabela (valores padrão que você encontra na tabela
ou numa calculadora) são
e
. Usando simetria:
Passo 5
Agora calculamos a probabilidade pedida subtraindo as acumuladas:
Interpretação: aproximadamente
dos alunos terão nota entre
e
. Em provas costuma-se arredondar para
ou
.
Passo 6
Parte (b): queremos a nota mínima
tal que os
melhores têm nota maior que
. Em termos probabilísticos isso é encontrar
com
Isso implica
. Em termos da Normal padrão, queremos
tal que
. Depois transformamos de volta por
.
Passo 7
Agora usamos a tabela inversa da Normal padrão (ou calculadora) para achar
com
. Valores da tabela:
e
. Como
fica entre esses dois, fazemos uma pequena interpolação ou simplesmente escolhemos o valor aproximado
(valor padrão para o percentil
). Explico a ideia:
é o
cujo acumulado é muito próximo de
.
Passo 8
Voltando para a escala das notas:
Arredondando de forma prática, a nota mínima para receber A é cerca de
. Em provas normalmente se adota uma casa decimal, então
seria aceitável.
Passo 9
Resumo e interpretação final: (a) usamos padronização e propriedades da Normal para calcular uma probabilidade entre dois pontos; (b) determinamos o percentil
(complemento de
) na Normal padrão e convertimos para a escala das notas. Dicas rápidas para a prova: sempre calcule
, padronize por
, e use simetria
para aproveitar a tabela.
Resposta
(a)
(aprox.)
(b) (aprox.)
(b)