A nota de um teste de escolaridade tem distribuição normal com média 60 e variância 100.
(a) Qual é a probabilidade de um indivíduo, submetido ao teste, ter nota entre 40 e 50 ?
(b) Se 15 \% dos alunos mais adiantados receberão nota A, determine a nota mínima para um aluno receber A.

Passo 1

O enunciado dá que a nota X de um teste tem distribuição normal com média \mu=60 e variância \sigma^2=100. São feitas duas perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de um aluno ter nota entre 40 e 50?
(b) Os 15\% dos alunos mais adiantados recebem nota A — determine a nota mínima x_A para receber A (ou seja, o menor x tal que apenas 15\% têm nota maior que x).
Dados relevantes listados: \mu=60, \sigma^2=100 (portanto \sigma é conhecido), intervalos e percentil pedido.

Passo 2

Vou primeiro transformar o problema para a forma padrão que usamos com a Normal padrão. Explico a ideia básica: se X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, então a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
tem a distribuição Normal padrão, isto é, média 0 e variância 1. Aqui \sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{100}=10. Essa transformação serve para usar tabelas ou valores já conhecidos da Normal padrão Z.

Passo 3

Parte (a): queremos P(40<X<50). Padronizando os extremos:
Z_1=\frac{40-60}{10}=\frac{-20}{10}=-2,
Z_2=\frac{50-60}{10}=\frac{-10}{10}=-1.
Logo
P(40<X<50)=P(-2<Z<-1).
Agora precisamos dos valores da função de distribuição acumulada da Normal padrão, \Phi(z)=P(Z\le z).

Passo 4

Explico como usar propriedades da Normal padrão e tabela: a Normal é simétrica, então \Phi(-a)=1-\Phi(a). Valores de tabela (valores padrão que você encontra na tabela Z ou numa calculadora) são \Phi(1)=0,8413 e \Phi(2)=0,9772. Usando simetria:
\Phi(-1)=1-\Phi(1)=1-0,8413=0,1587,
\Phi(-2)=1-\Phi(2)=1-0,9772=0,0228.

Passo 5

Agora calculamos a probabilidade pedida subtraindo as acumuladas:
P(-2<Z<-1)=\Phi(-1)-\Phi(-2)=0,1587-0,0228=0,1359.
Interpretação: aproximadamente 13{,}59\% dos alunos terão nota entre 40 e 50. Em provas costuma-se arredondar para 0{,}136 ou 13{,}6\%.

Passo 6

Parte (b): queremos a nota mínima x_A tal que os 15\% melhores têm nota maior que x_A. Em termos probabilísticos isso é encontrar x_A com
P(X>x_A)=0,15.
Isso implica P(X\le x_A)=0,85. Em termos da Normal padrão, queremos z_* tal que \Phi(z_*)=0,85. Depois transformamos de volta por x_A=\mu+z_*\sigma.

Passo 7

Agora usamos a tabela inversa da Normal padrão (ou calculadora) para achar z_* com \Phi(z_*)=0,85. Valores da tabela: \Phi(1{,}03)=0,8485 e \Phi(1{,}04)=0,8508. Como 0,85 fica entre esses dois, fazemos uma pequena interpolação ou simplesmente escolhemos o valor aproximado z_*\approx1{,}036 (valor padrão para o percentil 85\%). Explico a ideia: 1{,}036 é o z cujo acumulado é muito próximo de 0,85.

Passo 8

Voltando para a escala das notas:
x_A=\mu+z_*\sigma=60+1{,}036\cdot 10=60+10{,}36=70{,}36.
Arredondando de forma prática, a nota mínima para receber A é cerca de 70{,}36. Em provas normalmente se adota uma casa decimal, então 70{,}4 seria aceitável.

Passo 9

Resumo e interpretação final: (a) usamos padronização e propriedades da Normal para calcular uma probabilidade entre dois pontos; (b) determinamos o percentil 85\% (complemento de 15\%) na Normal padrão e convertimos para a escala das notas. Dicas rápidas para a prova: sempre calcule \sigma=\sqrt{\text{variância}}â, padronize por Z=(X-\mu)/\sigma, e use simetria \Phi(-a)=1-\Phi(a) para aproveitar a tabela.

Resposta

(a) 0,1359 (aprox.)
(b) 70,36 (aprox.)

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