As lâmpadas incandescentes contam com um filamento de tungstênio que recebe a corrente elétrica para emitir luz no ambiente. Suponha que o tempo de vida, em horas, de certa lâmpada incandescente pode ser modelado pela distribuição Exponencial com parâmetro 1/1000. Selecionada uma lâmpada ao acaso, calcule:
A probabilidade de a lâmpada se queimar antes de 300 horas de uso.
A probabilidade de a lâmpada se queimar antes de 300 horas de uso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre o tempo de vida de lâmpadas incandescentes, que segue uma distribuição Exponencial com parâmetro $ \lambda = \frac{1}{1000} $. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 300 horas de uso. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a distribuição Exponencial e como aplicar sua fórmula para encontrar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a distribuição Exponencial. Essa distribuição é muito usada para modelar o tempo até que um evento ocorra, como a queima de uma lâmpada. Ela é caracterizada pelo parâmetro $ \lambda $, que nesse caso é $ \frac{1}{1000} $ por hora.
Passo 3
A função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição Exponencial nos dá a probabilidade de o evento ocorrer até um certo tempo $ t $. A fórmula da CDF é:
Aqui, $ X $ representa o tempo até a queima da lâmpada.
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula. Queremos saber a probabilidade de a lâmpada queimar antes de 300 horas, então $ t = 300 $. Já sabemos que $ \lambda = \frac{1}{1000} $. Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar o cálculo da exponencial:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, precisamos calcular $ e^{-0,3} $. Usando uma calculadora ou uma tabela de exponenciais:
Passo 7
Substituindo de volta na fórmula:
Resposta
A probabilidade de a lâmpada queimar antes de 300 horas de uso é aproximadamente 25,92%.