As lâmpadas incandescentes contam com um filamento de tungstênio que recebe a corrente elétrica para emitir luz no ambiente. Suponha que o tempo de vida, em horas, de certa lâmpada incandescente pode ser modelado pela distribuição Exponencial com parâmetro 1/1000. Selecionada uma lâmpada ao acaso, calcule:
A probabilidade de a lâmpada se queimar entre 600 e 700 horas de uso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema sobre o tempo de vida de uma lâmpada incandescente. Esse tempo é modelado por uma Distribuição Exponencial com parâmetro lambda = 11000. A pergunta que temos que responder é: qual a probabilidade de uma lâmpada queimar entre 600 e 700 horas de uso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Exponencial. Ela é muito usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como a queima de uma lâmpada. A função de densidade dessa distribuição é dada por:
fX(x) = lambda e^-lambda x, x >= 0
E a função de distribuição acumulada (CDF) é:
FX(x) = 1 - e^-lambda x

Passo 3

A gente precisa calcular a probabilidade de a lâmpada queimar entre 600 e 700 horas. Matematicamente, isso é representado por:
P(600 <= X <= 700)
Para encontrar essa probabilidade, usamos a CDF da Distribuição Exponencial. A probabilidade de estar entre dois valores a e b é:
P(a <= X <= b) = FX(b) - FX(a)

Passo 4

Vamos aplicar isso ao nosso problema. Primeiro, vamos calcular FX(700) e FX(600):
FX(700) = 1 - e^-lambda times 700 = 1 - e^-7001000 = 1 - e^-0.7
FX(600) = 1 - e^-lambda times 600 = 1 - e^-6001000 = 1 - e^-0.6

Passo 5

Agora, subtraímos esses dois valores para encontrar a probabilidade desejada:
P(600 <= X <= 700) = FX(700) - FX(600) = (1 - e^-0.7) - (1 - e^-0.6) = e^-0.6 - e^-0.7

Passo 6

Vamos calcular os valores de e^-0.6 e e^-0.7:
e^-0.6 approx 0.5488
e^-0.7 approx 0.4966

Passo 7

Subtraindo os dois resultados:
P(600 <= X <= 700) = 0.5488 - 0.4966 = 0.0522

Resposta

A probabilidade de a lâmpada se queimar entre 600 e 700 horas é de aproximadamente 5,22%.

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