As lâmpadas incandescentes contam com um filamento de tungstênio que recebe a corrente elétrica para emitir luz no ambiente. Suponha que o tempo de vida, em horas, de certa lâmpada incandescente pode ser modelado pela distribuição Exponencial com parâmetro 1/1000. Selecionada uma lâmpada ao acaso, calcule:
A probabilidade de a lâmpada se queimar entre 600 e 700 horas de uso.
A probabilidade de a lâmpada se queimar entre 600 e 700 horas de uso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema sobre o tempo de vida de uma lâmpada incandescente. Esse tempo é modelado por uma Distribuição Exponencial com parâmetro
. A pergunta que temos que responder é: qual a probabilidade de uma lâmpada queimar entre 600 e 700 horas de uso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Exponencial. Ela é muito usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como a queima de uma lâmpada. A função de densidade dessa distribuição é dada por:
E a função de distribuição acumulada (CDF) é:
Passo 3
A gente precisa calcular a probabilidade de a lâmpada queimar entre 600 e 700 horas. Matematicamente, isso é representado por:
Para encontrar essa probabilidade, usamos a CDF da Distribuição Exponencial. A probabilidade de estar entre dois valores
e
é:
Passo 4
Vamos aplicar isso ao nosso problema. Primeiro, vamos calcular
e
:
Passo 5
Agora, subtraímos esses dois valores para encontrar a probabilidade desejada:
Passo 6
Vamos calcular os valores de
e
:
Passo 7
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A probabilidade de a lâmpada se queimar entre 600 e 700 horas é de aproximadamente 5,22%.