Lança-se um míssil, e, à medida que sua trajetória é monitorada, uma seqüência de sinais de correção de curso é enviada até ele. Suponha que o sistema tenha quatro estados que são rotulados como segue:
Estado 0: em curso, nenhuma correção adicional é necessária;
Estado 1: ligeiro desvio;
Estado 2: desvio acentuado;
Estado 3: fracasso de curso, exigindo o envio de um sinal de auto-destruição.
Suponha ainda que Xn represente o estado do sistema após a n-ésima correção de curso, e suponha que o comportamento de \{\mathrm{Xn}\} possa ser incluído no modelo de uma cadeia de Markov que tem a seguinte matriz de transição:
a) Se o míssil partir inicialmemte do estado 1, calcule a probabilidade de que eventualmente entre em curso; b) Se o míssil tem chances de começar tanto pelo estado 1 quanto pelo estado 2 , calcule a probabilidade de que ele eventualmente entre em curso; c) Se o míssil pode, com igual probabilidade, começar em quaisquer dos estados 0,1,2 e 3 , calcule a probabilidade de que ele entre em curso.
Passo 1
O enunciado pede três probabilidades diferentes relacionadas à chance do míssil “entrar em curso” (isto é, atingir o estado 0 eventualmente), nas seguintes situações:
O míssil começa no estado 1.
O míssil pode começar tanto no estado 1 quanto no estado 2 (inferiremos a interpretação mais natural adiante).
O míssil pode, com igual probabilidade, começar em qualquer dos estados 0,1,2,3.
Cada linha i da matriz P dá as probabilidades de ir do estado i para os estados 0,1,2,3, respectivamente. O evento que nos interessa é "eventualmente atingir o estado 0". Repare que as linhas 0 e 3 são (1,0,0,0) e (0,0,0,1): isso significa que 0 e 3 são estados absorventes (se você chega aí, fica aí).
Passo 2
Definimos, para cada estado i, a função de interesse
f_i=\text{probabilidade de eventualmente atingir o estado }0\text{, dado que começamos em }i.ç
Explicando o porquê dessa definição e como usá-la: se estamos num estado i e damos um passo, a cadeia vai para algum estado j com probabilidade P_{ij}. A partir daí, a probabilidade de, no futuro, atingir 0 é f_j. Logo, por condicionamento no primeiro passo, para qualquer estado i vale a equação de equilíbrio
f_i=\sum_{j=0}^3 P_{ij} f_j.
Isto é intuitivo: a probabilidade de sucesso começando em i é a soma (sobre as possíveis primeiras transições) da probabilidade de ir para j e, a partir de j, eventualmente atingir 0.
Além disso, imediatamente sabemos dois valores óbvios:
f_0=1\quad\text{(se já estamos em }0\text{, já "entramos em curso"),}áá
f_3=0\quad\text{(se estamos em }3\text{, é um estado de fracasso permanente, nunca atingiremos }0).é
Esses dois valores serão usados para resolver as equações para f_1 e f_2.
Passo 3
Escrevemos agora as equações de equilíbrio para f_1 e f_2 usando a segunda e terceira linhas de P, substituindo f_0=1 e f_3=0.
(a) Se o míssil parte inicialmente do estado 1, a probabilidade pedida é simplesmente f_1. Portanto o valor é
f_1=\frac{6}{7}.
Passo 7
(b) O enunciado diz “tem chances de começar tanto pelo estado 1 quanto pelo estado 2”. A interpretação mais natural (e usual nestes exercícios) é que as duas possibilidades são igualmente prováveis, i.e., probabilidade 1/2 de começar em 1 e 1/2 de começar em 2. Assim a probabilidade total de eventualmente entrar em curso é a média ponderada:
(c) Se o míssil pode começar, com igual probabilidade, em quaisquer dos estados 0,1,2,3, então a probabilidade pedida é a média aritmética de f_0,f_1,f_2,f_3: