Lança-se um míssil, e, à medida que sua trajetória é monitorada, uma seqüência de sinais de correção de curso é enviada até ele. Suponha que o sistema tenha quatro estados que são rotulados como segue:
Estado 0: em curso, nenhuma correção adicional é necessária;
Estado 1: ligeiro desvio;
Estado 2: desvio acentuado;
Estado 3: fracasso de curso, exigindo o envio de um sinal de auto-destruição.
Suponha ainda que Xn represente o estado do sistema após a n-ésima correção de curso, e suponha que o comportamento de \{\mathrm{Xn}\} possa ser incluído no modelo de uma cadeia de Markov que tem a seguinte matriz de transição:
P=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 / 2 & 1 / 4 & 1 / 4 & 0 \\\\ 0 & 1 / 2 & 1 / 4 & 1 / 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
a) Se o míssil partir inicialmemte do estado 1, calcule a probabilidade de que eventualmente entre em curso; b) Se o míssil tem chances de começar tanto pelo estado 1 quanto pelo estado 2 , calcule a probabilidade de que ele eventualmente entre em curso; c) Se o míssil pode, com igual probabilidade, começar em quaisquer dos estados 0,1,2 e 3 , calcule a probabilidade de que ele entre em curso.

Passo 1

O enunciado pede três probabilidades diferentes relacionadas à chance do míssil “entrar em curso” (isto é, atingir o estado 0 eventualmente), nas seguintes situações:
  1. O míssil começa no estado 1.
  2. O míssil pode começar tanto no estado 1 quanto no estado 2 (inferiremos a interpretação mais natural adiante).
  3. O míssil pode, com igual probabilidade, começar em qualquer dos estados 0,1,2,3.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Cada linha i da matriz P dá as probabilidades de ir do estado i para os estados 0,1,2,3, respectivamente. O evento que nos interessa é "eventualmente atingir o estado 0". Repare que as linhas 0 e 3 são (1,0,0,0) e (0,0,0,1): isso significa que 0 e 3 são estados absorventes (se você chega aí, fica aí).

Passo 2

Definimos, para cada estado i, a função de interesse
f_i=\text{probabilidade de eventualmente atingir o estado }0\text{, dado que começamos em }i.ç
Explicando o porquê dessa definição e como usá-la: se estamos num estado i e damos um passo, a cadeia vai para algum estado j com probabilidade P_{ij}. A partir daí, a probabilidade de, no futuro, atingir 0 é f_j. Logo, por condicionamento no primeiro passo, para qualquer estado i vale a equação de equilíbrio
f_i=\sum_{j=0}^3 P_{ij} f_j.
Isto é intuitivo: a probabilidade de sucesso começando em i é a soma (sobre as possíveis primeiras transições) da probabilidade de ir para j e, a partir de j, eventualmente atingir 0.
Além disso, imediatamente sabemos dois valores óbvios:
f_0=1\quad\text{(se já estamos em }0\text{, já "entramos em curso"),}áá
f_3=0\quad\text{(se estamos em }3\text{, é um estado de fracasso permanente, nunca atingiremos }0).é
Esses dois valores serão usados para resolver as equações para f_1 e f_2.

Passo 3

Escrevemos agora as equações de equilíbrio para f_1 e f_2 usando a segunda e terceira linhas de P, substituindo f_0=1 e f_3=0.
Da segunda linha (estado 1):
f_1=\frac{1}{2}f_0+\frac{1}{4}f_1+\frac{1}{4}f_2+0\cdot f_3.
Substituindo f_0=1 e f_3=0,
f_1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}f_1+\frac{1}{4}f_2.
Da terceira linha (estado 2):
f_2=0\cdot f_0+\frac{1}{2}f_1+\frac{1}{4}f_2+\frac{1}{4}f_3.
Substituindo f_3=0,
f_2=\frac{1}{2}f_1+\frac{1}{4}f_2.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema de duas equações nas duas incógnitas f_1 e f_2.
Primeira equação:
f_1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}f_1+\frac{1}{4}f_2.
Colocando todos os termos com f do mesmo lado:
f_1-\frac{1}{4}f_1-\frac{1}{4}f_2=\frac{1}{2}.
Simplificando o coeficiente de f_1:
\frac{3}{4}f_1-\frac{1}{4}f_2=\frac{1}{2}.
Multiplicando tudo por 4 para eliminar os denominadores:
3f_1 - f_2 = 2. \quad (1)
Segunda equação:
f_2=\frac{1}{2}f_1+\frac{1}{4}f_2.
Isolando termos:
f_2-\frac{1}{4}f_2=\frac{1}{2}f_1
\frac{3}{4}f_2=\frac{1}{2}f_1.
Multiplicando por 4:
3f_2 = 2 f_1.
Daí
f_2=\frac{2}{3}f_1. \quad (2)

Passo 5

Substituímos (2) em (1). Usando f_2=\frac{2}{3}f_1 em 3f_1 - f_2 = 2:
3f_1 - \frac{2}{3}f_1 = 2.
Colocando sobre um denominador comum:
\left(3 - \frac{2}{3}\right) f_1 = 2 \quad\Rightarrow\quad \frac{9-2}{3} f_1 = 2,
\frac{7}{3} f_1 = 2 \quad\Rightarrow\quad f_1 = \frac{2\cdot 3}{7}=\frac{6}{7}.
Então, usando (2),
f_2=\frac{2}{3}\cdot \frac{6}{7}=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}.
Até aqui temos as probabilidades de eventual entrada em curso começando em cada estado:
f_0=1,\quad f_1=\frac{6}{7},\quad f_2=\frac{4}{7},\quad f_3=0.

Passo 6

(a) Se o míssil parte inicialmente do estado 1, a probabilidade pedida é simplesmente f_1. Portanto o valor é
f_1=\frac{6}{7}.

Passo 7

(b) O enunciado diz “tem chances de começar tanto pelo estado 1 quanto pelo estado 2”. A interpretação mais natural (e usual nestes exercícios) é que as duas possibilidades são igualmente prováveis, i.e., probabilidade 1/2 de começar em 1 e 1/2 de começar em 2. Assim a probabilidade total de eventualmente entrar em curso é a média ponderada:
\frac{1}{2}f_1+\frac{1}{2}f_2=\frac{1}{2}\left(\frac{6}{7}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{4}{7}\right)=\frac{6+4}{14}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}.

Passo 8

(c) Se o míssil pode começar, com igual probabilidade, em quaisquer dos estados 0,1,2,3, então a probabilidade pedida é a média aritmética de f_0,f_1,f_2,f_3:
\frac{1}{4}\big(f_0+f_1+f_2+f_3\big)=\frac{1}{4}\left(1+\frac{6}{7}+\frac{4}{7}+0\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{7+6+4}{7}\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{17}{7}=\frac{17}{28}.

Resposta

\dfrac{6}{7}\n \dfrac{5}{7}\n \dfrac{17}{28}

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