Os trabalhos que precisam ser realizados numa determinada máquina chegam de acordo com um processo de Poisson a uma taxa média de 2 por hora. Suponha que a máquina quebre e que seja necessário 1 hora para consertá-la. Qual a probabilidade de que o número de novos trabalhos, que chegarão neste intervalo, seja
cinco ou mais?

Passo 1

Dados do enunciado e o que é pedido:
  • Chegadas de trabalhos seguem um processo de Poisson com taxa média de 2 por hora.
  • A máquina ficará parada por 1 hora (tempo do conserto).
  • Pergunta: qual a probabilidade de que o número de novos trabalhos que chegam nesse intervalo de 1 hora seja cinco ou mais?

Passo 2

Modelo e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Se o número de chegadas em um intervalo segue um processo de Poisson com parâmetro \lambda, então a variável aleatória X (número de chegadas) tem distribuição de Poisson com
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • \lambda é a média esperada de ocorrências no intervalo considerado (número esperado de chegadas);
  • k é o número inteiro não negativo de ocorrências que queremos a probabilidade;
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6);
  • e é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2{,}71828.
  • Intuição: essa fórmula dá a probabilidade exata de ocorrer exatamente k chegadas no intervalo.

Passo 3

Cálculo do parâmetro \lambda para o intervalo de interesse:
  • A taxa é de 2 chegadas por hora e o intervalo tem duração 1 hora, logo
\lambda = 2 \times 1 = 2.
  • Portanto X\sim Poisson (\lambda=2).

Passo 4

Converter o pedido em uma expressão que dá para calcular:
  • Queremos P(X\ge 5). É mais fácil calcular pelo complementar:
P(X\ge 5) = 1 - P(X\le 4) = 1 - \sum_{k=0}^{4} P(X=k).
  • Substituindo a fórmula de Poisson:
P(X\ge 5) = 1 - \sum_{k=0}^{4} e^{-2}\frac{2^{k}}{k!}.
  • Vamos calcular cada termo da soma e então subtrair de 1.

Passo 5

Cálculo dos termos P(X=k) para k=0,1,2,3,4:
  • Primeiro calcule e^{-2}. Usaremos a aproximação
e^{-2}\approx 0{,}1353352832366127.
  • Agora cada termo:
P(X=0)=e^{-2}\frac{2^{0}}{0!}=e^{-2}\cdot 1 = 0{,}1353352832366127.
P(X=1)=e^{-2}\frac{2^{1}}{1!}=e^{-2}\cdot 2 = 0{,}2706705664732254.
P(X=2)=e^{-2}\frac{2^{2}}{2!}=e^{-2}\cdot \frac{4}{2}=e^{-2}\cdot 2 = 0{,}2706705664732254.
P(X=3)=e^{-2}\frac{2^{3}}{3!}=e^{-2}\cdot \frac{8}{6}=e^{-2}\cdot \frac{4}{3}\approx 0{,}1804470443154836.
P(X=4)=e^{-2}\frac{2^{4}}{4!}=e^{-2}\cdot \frac{16}{24}=e^{-2}\cdot \frac{2}{3}\approx 0{,}0902235221577418.
  • Soma dos termos até 4:
\sum_{k=0}^{4} P(X=k)\approx 0{,}1353352832366127+0{,}2706705664732254+0{,}2706705664732254+0{,}1804470443154836+0{,}0902235221577418.
  • Somando (passo a passo):
0{,}1353352832366127+0{,}2706705664732254=0{,}4060058497098381,
0{,}4060058497098381+0{,}2706705664732254=0{,}6766764161830635,
0{,}6766764161830635+0{,}1804470443154836=0{,}8571234604985471,
0{,}8571234604985471+0{,}0902235221577418=0{,}9473469826562889.

Passo 6

Conclusão numérica e interpretação:
  • Agora calcule o complementar:
P(X\ge 5)=1-0{,}9473469826562889\approx 0{,}0526530173437111.
  • Em termos percentuais, isso é aproximadamente 5{,}27\%.
  • Interpretação prática: se a máquina ficar parada por uma hora, a chance de chegarem cinco ou mais trabalhos nesse período é cerca de 0{,}05265 (ou 5{,}27\%). Vai ficar tudo bem — essa probabilidade é baixa, mas não nula.

Resposta

0{,}0526530173437111

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