Os trabalhos que precisam ser realizados numa determinada máquina chegam de acordo com um processo de Poisson a uma taxa média de 2 por hora. Suponha que a máquina quebre e que seja necessário 1 hora para consertá-la. Qual a probabilidade de que o número de novos trabalhos, que chegarão neste intervalo, seja
cinco ou mais?
cinco ou mais?
Passo 1
Dados do enunciado e o que é pedido:
- Chegadas de trabalhos seguem um processo de Poisson com taxa média de
por hora. - A máquina ficará parada por
hora (tempo do conserto). - Pergunta: qual a probabilidade de que o número de novos trabalhos que chegam nesse intervalo de
hora seja cinco ou mais?
Passo 2
Modelo e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Se o número de chegadas em um intervalo segue um processo de Poisson com parâmetro
, então a variável aleatória (número de chegadas) tem distribuição de Poisson com
onde:
-
é a média esperada de ocorrências no intervalo considerado (número esperado de chegadas); -
é o número inteiro não negativo de ocorrências que queremos a probabilidade; -
é o fatorial de (por exemplo, ); -
é a base do logaritmo natural, aproximadamente . - Intuição: essa fórmula dá a probabilidade exata de ocorrer exatamente
chegadas no intervalo.
Passo 3
Cálculo do parâmetro
para o intervalo de interesse:
- A taxa é de
chegadas por hora e o intervalo tem duração hora, logo
- Portanto
Poisson .
Passo 4
Converter o pedido em uma expressão que dá para calcular:
- Queremos
. É mais fácil calcular pelo complementar:
- Substituindo a fórmula de Poisson:
- Vamos calcular cada termo da soma e então subtrair de
.
Passo 5
Cálculo dos termos
para
:
- Primeiro calcule
. Usaremos a aproximação
- Agora cada termo:
- Soma dos termos até
:
- Somando (passo a passo):
Passo 6
Conclusão numérica e interpretação:
- Agora calcule o complementar:
- Em termos percentuais, isso é aproximadamente
. - Interpretação prática: se a máquina ficar parada por uma hora, a chance de chegarem cinco ou mais trabalhos nesse período é cerca de
(ou ). Vai ficar tudo bem — essa probabilidade é baixa, mas não nula.