Lança-se uma moeda 100 vezes e observa-se 40 caras. Construa um teste de hipótese adequado, utilizando alpha=0.05 e, com base na sua amostra, determine se a moeda é honesta. Faça o teste conforme etapas abaixo observando que, para pontuar num item, é necessário ter pontuado nos itens anteriores:
Decisão:
i. estatística:
ii. em termos do problema estudado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que lançamos uma moeda 100 vezes e saíram 40 caras. A gente quer saber se essa moeda é honesta, ou seja, se a probabilidade de dar cara é realmente 50%. Para isso, vamos usar um teste de hipótese com nível de significância alpha=0.05. Vamos precisar entender um pouco sobre distribuição binomial e teste z para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses:
  • Hipótese nula ( H0): A moeda é honesta, então a probabilidade de dar cara é p = 0.5.
  • Hipótese alternativa ( H1): A moeda não é honesta, ou seja, p neq 0.5.

Passo 3

Agora, vamos calcular a estatística de teste. Como temos um número grande de lançamentos (n=100), podemos usar a aproximação normal para a distribuição binomial. A fórmula do teste z para proporções é:
z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • p é a proporção observada de caras, que é 40100 = 0.4.
  • p0 é a proporção sob a hipótese nula, que é 0.5.
  • n é o número de lançamentos, que é 100.
Substituindo os valores:
z = 0.4 - 0.5raiz0.5 times 0.5100 = -0.10.05 = -2

Passo 4

Vamos determinar os valores críticos para um nível de significância de alpha=0.05 em um teste bicaudal. Isso significa que vamos dividir alpha em duas partes, cada uma de 0.025:
zalpha/2 = pm1.96

Passo 5

Agora, comparamos o valor calculado de z com os valores críticos:
  • Nosso z calculado foi -2.
  • Os valores críticos são -1.96 e 1.96.
Como -2 é menor que -1.96, ele cai na região de rejeição da hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que, com 95% de confiança, podemos concluir que a moeda não é honesta.

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