Mostre que, de todos os retângulos de área dada A, o quadrado é o que tem menor.

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício que diz: “Mostre que, de todos os retângulos de área dada A, o quadrado é o que tem menor [perímetro].” A matéria aqui envolve geometria e um pouquinho de cálculo para otimizar funções. Vamos precisar entender como relacionar área e perímetro dos retângulos para descobrir qual deles tem o menor perímetro quando a área é fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área e o perímetro de um retângulo. Se chamarmos o comprimento de um lado de x e o outro de y, a área A é dada por:
A = x times y
E o perímetro P é:
P = 2x + 2y
Como a área A é fixa, a gente quer expressar o perímetro em termos de uma única variável.

Passo 3

Vamos resolver a equação da área para uma das variáveis. Por exemplo, resolvendo para y:
y = Ax
Agora, substituímos y na equação do perímetro:
P = 2x + 2(Ax) = 2x + 2Ax
Então, o perímetro P está agora expresso apenas em termos de x.

Passo 4

Nossa missão agora é encontrar o valor de x que minimiza o perímetro P. Para isso, vamos derivar a função P(x) em relação a x e igualar a derivada a zero para encontrar pontos críticos.
A derivada de P em relação a x é:
P'(x) = 2 - 2Ax^2
Vamos igualar isso a zero:
2 - 2Ax^2 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação:
2 = 2Ax^2
Multiplicando ambos os lados por x^2:
2x^2 = 2A
Dividindo por 2:
x^2 = A
Tomando a raiz quadrada:
x = raizA

Passo 6

Agora que encontramos x = raizA, podemos encontrar y usando a relação y = Ax:
y = AraizA = raizA
Então, y também é igual a raizA.

Passo 7

Perceba que x = y = raizA. Isso significa que o retângulo que minimiza o perímetro com área A é aquele onde todos os lados são iguais, ou seja, um quadrado.

Resposta

Portanto, mostrando passo a passo, provamos que entre todos os retângulos com área dada A, o quadrado é aquele que tem o menor perímetro.

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