Mostre que, de todos os retângulos de área dada
, o quadrado é o que tem menor.
Passo 1
Beleza! A gente tem um exercício que diz: “Mostre que, de todos os retângulos de área dada
, o quadrado é o que tem menor [perímetro].” A matéria aqui envolve geometria e um pouquinho de cálculo para otimizar funções. Vamos precisar entender como relacionar área e perímetro dos retângulos para descobrir qual deles tem o menor perímetro quando a área é fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área e o perímetro de um retângulo. Se chamarmos o comprimento de um lado de
e o outro de
, a área
é dada por:
E o perímetro
é:
Como a área
é fixa, a gente quer expressar o perímetro em termos de uma única variável.
Passo 3
Vamos resolver a equação da área para uma das variáveis. Por exemplo, resolvendo para
:
Agora, substituímos
na equação do perímetro:
Então, o perímetro
está agora expresso apenas em termos de
.
Passo 4
Nossa missão agora é encontrar o valor de
que minimiza o perímetro
. Para isso, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero para encontrar pontos críticos.
A derivada de
em relação a
é:
Vamos igualar isso a zero:
Passo 5
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por 2:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 6
Agora que encontramos
, podemos encontrar
usando a relação
:
Então,
também é igual a
.
Passo 7
Perceba que
. Isso significa que o retângulo que minimiza o perímetro com área
é aquele onde todos os lados são iguais, ou seja, um quadrado.
Resposta
Portanto, mostrando passo a passo, provamos que entre todos os retângulos com área dada
, o quadrado é aquele que tem o menor perímetro.