Um lançador de projéteis, que os arremessa sempre com o mesmo valor de velocidade, está localizado em um plano horizontal com o objetivo de atingir um alvo fixo que também está nesse plano. Numa primeira tentativa, o projétil é lançado com uma inclinação \alpha e ele atinge o plano uma distância a, antes do alvo. Numa segunda tentativa, o projétil é lançado com uma inclinação \beta e ele atinge o plano uma distância b, depois do alvo. De posse desses dados a inclinação correta que faz o alvo ser atingido é:
a) \frac{1}{2} \sin ^{-1}\left[\frac{b \cdot \sin (2 \alpha)+a \cdot \sin (2 \beta)}{a+b}\right]
b) \frac{1}{2} \sin ^{-1}\left[\frac{a \cdot \sin (2 \alpha)+b \cdot \sin (2 \beta)}{a+b}\right]
c) \frac{1}{2} \sin ^{-1}\left[\frac{b \cdot \sin (\alpha)+a \cdot \sin (\beta)}{a+b}\right]
d) \frac{1}{2} \sin ^{-1}\left[\frac{a \cdot \sin (\alpha)+b \cdot \sin (\beta)}{a+b}\right]
e) Não é possível determinar sem o valor da velocidade de lançamento dos projéteis.

Passo 1

O enunciado nos dá isto (peguei as informações diretamente do texto):
  • O lançador está no mesmo plano horizontal que o alvo, e lança sempre com a mesma velocidade inicial cuja magnitude é \;v\; (valor numérico de v não é fornecido).
  • Na primeira tentativa o ângulo de lançamento é \alpha e o projétil cai a uma distância a antes do alvo. Ou seja, se D é a distância do lançador ao alvo, a distância percorrida nessa tentativa foi \;D - a\;.
  • Na segunda tentativa o ângulo de lançamento é \beta e o projétil cai a uma distância b depois do alvo. Ou seja, nessa tentativa a distância percorrida foi \;D + b\;.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a inclinação \theta que faz o projétil atingir exatamente o alvo (ou seja, produzir alcance D), em função de \alpha,\beta,a,b.
Informações relevantes dadas: \alpha,\beta,a,b. Variáveis desconhecidas: v e D (a velocidade e a distância real até o alvo). A solução deve eliminar v e D e dar \theta em termos de \alpha,\beta,a,b.

Passo 2

Recordando a fórmula do alcance de um projétil (aula rápida e prática, sem pular etapas).
Considere um lançamento com velocidade inicial de módulo \;v\; e inclinação \theta em relação à horizontal. Decompondo a velocidade:
v_x = v\cos\theta,\qquad v_y = v\sin\theta.
O tempo total de voo até o projétil voltar ao mesmo nível do lançamento (desprezando resistência do ar) é obtido pela componente vertical: a subida e descida total dá
T = \frac{2 v_y}{g} = \frac{2 v \sin\theta}{g},
onde g é a aceleração da gravidade (positiva em módulo). O alcance horizontal R é a velocidade horizontal vezes o tempo de voo:
R = v_x \, T = v\cos\theta\cdot\frac{2 v\sin\theta}{g} = \frac{v^2}{g}\,2\sin\theta\cos\theta.
Usando a identidade trigonométrica 2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta), obtemos a fórmula clássica:
R = \frac{v^2}{g}\,\sin(2\theta).
Explicando variáveis: \;R\; é o alcance horizontal (distância percorrida até cair no mesmo nível), \;v\; é a velocidade inicial, \theta é o ângulo de lançamento e \;g\; é a gravidade.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dois lançamentos do enunciado. Defina
k \equiv \frac{v^2}{g},
para simplificar a escrita. Então os alcances nas duas tentativas valem:
R_1 = k\,\sin(2\alpha),\qquad R_2 = k\,\sin(2\beta).
Pelo enunciado, esses alcances relacionam-se com a distância do alvo D assim:
R_1 = D - a,\qquad R_2 = D + b.
Portanto temos o sistema (duas equações):
k\,\sin(2\alpha) = D - a,
k\,\sin(2\beta) = D + b.

Passo 4

Vamos eliminar k e D para encontrar \sin(2\theta) do ângulo que dá alcance D.
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar D:
k\sin(2\beta) - k\sin(2\alpha) = (D + b) - (D - a) = a + b.
Fatorando k:
k\bigl(\sin(2\beta)-\sin(2\alpha)\bigr)=a+b.
Logo
k = \frac{a+b}{\sin(2\beta)-\sin(2\alpha)}.

Passo 5

O alcance que acerta o alvo é R_\text{alvo}=D. Pela fórmula do alcance, para o ângulo procurado \theta deve valer
D = k\,\sin(2\theta),
ou seja
\sin(2\theta)=\frac{D}{k}.
Agora escrevemos D em termos de k usando a primeira equação: D = k\sin(2\alpha) + a. Então
\sin(2\theta)=\frac{k\sin(2\alpha)+a}{k}=\sin(2\alpha)+\frac{a}{k}.
Substitua k pelo valor encontrado no Passo 4; como
\frac{1}{k}=\frac{\sin(2\beta)-\sin(2\alpha)}{a+b},
temos
\sin(2\theta)=\sin(2\alpha)+a\cdot\frac{\sin(2\beta)-\sin(2\alpha)}{a+b}.
Agora multiplicando e simplificando:
\sin(2\theta)=\frac{\sin(2\alpha)(a+b)+a\sin(2\beta)-a\sin(2\alpha)}{a+b} = \frac{b\sin(2\alpha)+a\sin(2\beta)}{a+b}.

Passo 6

Portanto o ângulo procurado \theta satisfaz
\sin(2\theta)=\frac{b\sin(2\alpha)+a\sin(2\beta)}{a+b}.
Tomando arco-seno e dividindo por 2, obtemos a inclinação que acerta o alvo:
\theta=\frac{1}{2}\sin^{-1}\!\left(\frac{b\sin(2\alpha)+a\sin(2\beta)}{a+b}\right).
Observação didática rápida: não foi necessário saber o valor numérico de \;v\; — ele cancelou — por isso a opção que diz que é impossível sem v está errada. A expressão coincide exatamente com a alternativa (a).

Resposta

a) \frac{1}{2} \sin^{-1}\left[\frac{b \cdot \sin (2 \alpha)+a \cdot \sin (2 \beta)}{a+b}\right]

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