Um lançador de projéteis, que os arremessa sempre com o mesmo valor de velocidade, está localizado em um plano horizontal com o objetivo de atingir um alvo fixo que também está nesse plano. Numa primeira tentativa, o projétil é lançado com uma inclinação
e ele atinge o plano uma distância a, antes do alvo. Numa segunda tentativa, o projétil é lançado com uma inclinação
e ele atinge o plano uma distância b, depois do alvo. De posse desses dados a inclinação correta que faz o alvo ser atingido é:
a)
b)
c)
d)
e) Não é possível determinar sem o valor da velocidade de lançamento dos projéteis.
a)
b)
c)
d)
e) Não é possível determinar sem o valor da velocidade de lançamento dos projéteis.
Passo 1
O enunciado nos dá isto (peguei as informações diretamente do texto):
- O lançador está no mesmo plano horizontal que o alvo, e lança sempre com a mesma velocidade inicial cuja magnitude é
(valor numérico de não é fornecido). - Na primeira tentativa o ângulo de lançamento é
e o projétil cai a uma distância antes do alvo. Ou seja, se é a distância do lançador ao alvo, a distância percorrida nessa tentativa foi . - Na segunda tentativa o ângulo de lançamento é
e o projétil cai a uma distância depois do alvo. Ou seja, nessa tentativa a distância percorrida foi .
O que o enunciado pede:
- Determinar a inclinação
que faz o projétil atingir exatamente o alvo (ou seja, produzir alcance ), em função de .
Informações relevantes dadas:
. Variáveis desconhecidas:
e
(a velocidade e a distância real até o alvo). A solução deve eliminar
e
e dar
em termos de
.
Passo 2
Recordando a fórmula do alcance de um projétil (aula rápida e prática, sem pular etapas).
Considere um lançamento com velocidade inicial de módulo
e inclinação
em relação à horizontal. Decompondo a velocidade:
O tempo total de voo até o projétil voltar ao mesmo nível do lançamento (desprezando resistência do ar) é obtido pela componente vertical: a subida e descida total dá
onde
é a aceleração da gravidade (positiva em módulo). O alcance horizontal
é a velocidade horizontal vezes o tempo de voo:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos a fórmula clássica:
Explicando variáveis:
é o alcance horizontal (distância percorrida até cair no mesmo nível),
é a velocidade inicial,
é o ângulo de lançamento e
é a gravidade.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos dois lançamentos do enunciado. Defina
para simplificar a escrita. Então os alcances nas duas tentativas valem:
Pelo enunciado, esses alcances relacionam-se com a distância do alvo
assim:
Portanto temos o sistema (duas equações):
Passo 4
Vamos eliminar
e
para encontrar
do ângulo que dá alcance
.
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar
:
Fatorando
:
Logo
Passo 5
O alcance que acerta o alvo é
. Pela fórmula do alcance, para o ângulo procurado
deve valer
ou seja
Agora escrevemos
em termos de
usando a primeira equação:
. Então
Substitua
pelo valor encontrado no Passo 4; como
temos
Agora multiplicando e simplificando:
Passo 6
Portanto o ângulo procurado
satisfaz
Tomando arco-seno e dividindo por
, obtemos a inclinação que acerta o alvo:
Observação didática rápida: não foi necessário saber o valor numérico de
— ele cancelou — por isso a opção que diz que é impossível sem
está errada. A expressão coincide exatamente com a alternativa (a).
Resposta
a)