Considere uma partícula com 5,2 \mathrm{~kg} e outra partícula com 2,4 \mathrm{~kg} com uma distância de 19 metros. Qual é a energia potencial gravitacional do sistema? Considere \mathrm{G}=6,674 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{kg}^{2} (constante gravitacional).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dado: massa da partícula 1 \,m_1=5,2\\ \mathrm{kg}.
  • Dado: massa da partícula 2 \,m_2=2,4\\ \mathrm{kg}.
  • Dado: distância entre as partículas \,r=19\\ \mathrm{m}.
  • Dado: constante gravitacional \,G=6,674\times10^{-11}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/kg^{2}}.
  • Pedido: a energia potencial gravitacional do sistema (valor numérico em joules).

Passo 2

Qual fórmula usamos e por quê (explicação didática passo a passo).
  • Para duas massas puntiformes separadas por uma distância \,r a energia potencial gravitacional do sistema é dada por
U = -\dfrac{G\,m_1\,m_2}{r}.
  • O que cada símbolo significa:
    • \,U é a energia potencial gravitacional do par de massas (em joules, \mathrm{J}).
    • \,G é a constante gravitacional universal ( \mathrm{N\cdot m^{2}/kg^{2}}).
    • \,m_1 e \,m_2 são as massas das partículas (em \mathrm{kg}).
    • \,r é a distância entre os centros das massas (em \mathrm{m}).
  • Por que há um sinal negativo: a energia potencial gravitacional é negativa porque a força gravitacional é atrativa; tomando U\to0 quando as massas estão infinitamente separadas, o trabalho necessário para separá-las até o infinito é positivo, portanto U quando estão a distância finita é negativo.

Passo 3

Calcular o produto das massas (primeira operação numérica simples).
  • Multiplicando as massas:
m_1 m_2 = 5,2\times2,4 = 12,48\\ \mathrm{kg^2}.

Passo 4

Multiplicar pelo valor de \,G (trabalhando em notação científica).
  • Calcular G\,m_1 m_2:
G\,m_1 m_2 = \left(6,674\times10^{-11}\right)\times 12,48 = 8,329952\times10^{-10}.
  • Unidades dessa quantidade antes da divisão por \,r: \mathrm{(N\cdot m^{2}/kg^{2})\cdot kg^{2} = N\cdot m^{2}}.

Passo 5

Dividir pelo raio \,r para obter a energia potencial (converter unidades para joules).
  • Dividindo por \,r=19\\ \mathrm{m}:
\dfrac{G\,m_1 m_2}{r} = \dfrac{8,329952\times10^{-10}}{19} = 4,3841747\times10^{-11}.
  • Unidades: \mathrm{(N\cdot m^{2})/m = N\cdot m = J}.
  • Lembrando o sinal negativo da fórmula, a energia potencial é
U = -4,3841747\times10^{-11}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Arredondamento razoável e interpretação breve.
  • Dados iniciais têm, em geral, duas casas significativas para as massas, então é apropriado apresentar o resultado com duas ou três algarismos significativos. Vou apresentar com três algarismos significativos:
U \approx -4,38\times10^{-11}\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação: o valor é negativo e extremamente pequeno em magnitude, o que significa que a ligação gravitacional entre essas duas massas tão pequenas separadas por 19 m é praticamente desprezível em termos de energia absoluta.

Resposta

-4,38\times10^{-11}\\ \mathrm{J}

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