(Lançamento de um foguete) Um foguete é lançado verticalmente a partir do repouso e sua aceleração, em qualquer instante t, é dada por uma função a(t), que varia com o tempo. Sabendo que a velocidade v(t) é a taxa de variação da posição s(t), escreva a equação diferencial que relaciona v e t. Em seguida, suponha que a aceleração é proporcional ao tempo decorrido desde o lançamento. Determine a equação diferencial que modela a velocidade do foguete nesse caso.

Passo 1

O enunciado diz o seguinte (resumindo e listando o que é pedido e o que foi dado):
  • O foguete é lançado verticalmente a partir do repouso. Isto dá a condição inicial v(0)=0.
  • A aceleração em qualquer instante t é dada por uma função a(t) que varia com o tempo.
  • Pergunta 1: escrever a equação diferencial que relaciona v e t em termos gerais.
  • Pergunta 2: supondo que a aceleração é proporcional ao tempo decorrido desde o lançamento, obter a equação diferencial que modela a velocidade do foguete nesse caso (e, implicitamente, determinar v(t) usando a condição de repouso inicial).

Passo 2

Definições e relações fundamentais — vamos fixar o que cada símbolo significa:
  • s(t) é a posição vertical do foguete em função do tempo t.
  • v(t) é a velocidade do foguete em função do tempo t. Por definição física e matemática, v(t) é a taxa de variação de s(t) com respeito ao tempo.
  • a(t) é a aceleração do foguete em função do tempo t. Por definição, a(t) é a taxa de variação de v(t) com respeito ao tempo.
Escrever isso em forma matemática (cada fórmula isolada):
v(t)=\frac{ds}{dt}
a(t)=\frac{dv}{dt}
Aqui \dfrac{ds}{dt} significa "derivada de s em relação a t" e \dfrac{dv}{dt} significa "derivada de v em relação a t".

Passo 3

Resposta à primeira pergunta (equação diferencial geral que relaciona v e t).
A relação fundamental entre aceleração e velocidade é:
\frac{dv}{dt}=a(t).
Esta é a equação diferencial procurada em termos gerais: ela diz que a derivada da velocidade em relação ao tempo é igual à aceleração conhecida a(t).

Passo 4

Agora vamos ao caso específico pedido: “a aceleração é proporcional ao tempo decorrido desde o lançamento”. Traduzindo isso para matemática:
  • Existe uma constante de proporcionalidade k (número real) tal que
a(t)=k\,t.
Aqui k tem unidades de aceleração por tempo (por exemplo, \text{m/s}^2 dividido por \text{s} = \text{m/s}^3), e o sinal de k determina se a aceleração cresce positivamente com o tempo ou não.
Substituindo a(t)=k t na equação geral \dfrac{dv}{dt}=a(t), obtemos a equação diferencial que modela a velocidade nesse caso:
\frac{dv}{dt}=k\,t.

Passo 5

Resolver a equação diferencial \dfrac{dv}{dt}=k t para encontrar v(t), usando que o foguete parte do repouso, isto é v(0)=0.
Método: integração direta. Podemos integrar ambos os lados em relação a t. Escrevendo a primitiva:
v(t)=\int k\,t\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Calcule a integral:
\int k\,t\,dt = k\int t\,dt = k\cdot\frac{t^2}{2}=\frac{k}{2}\,t^2.
Portanto a solução geral é
v(t)=\frac{k}{2}\,t^2 + C.

Passo 6

Aplicar a condição inicial v(0)=0 para determinar C:
substituindo t=0 em v(t),
v(0)=\frac{k}{2}\cdot 0^2 + C = C.
Como v(0)=0, então C=0. Logo a solução particular (a que serve para o foguete lançado do repouso) é
v(t)=\frac{k}{2}\,t^2.
Alternativa (usando integral definida, que às vezes é mais direta): como v(t)=v(0)+\int_{0}^{t} a(\tau)\,d\tau e v(0)=0, com a(\tau)=k\tau,
v(t)=\int_{0}^{t} k\tau\,d\tau = \frac{k}{2}\,t^2.

Passo 7

Interpretação física curta e observações úteis para a prova:
  • A equação diferencial básica que liga velocidade e tempo é \dfrac{dv}{dt}=a(t).
  • Se a(t)=k t, a velocidade cresce como t^2 (parabólica), com coeficiente \dfrac{k}{2}.
  • A constante k controla quão rápido a aceleração cresce; se k>0 a aceleração aumenta com o tempo, se k<0 diminui (seria desaceleração crescente em módulo).
  • Sempre lembre de usar a condição inicial para fixar a constante de integração.

Resposta

\displaystyle \frac{dv}{dt}=a(t)
\displaystyle \frac{dv}{dt}=k\,t,\quad v(t)=\frac{k}{2}\,t^{2}

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