(Lançamento de um foguete) Um foguete é lançado verticalmente a partir do repouso e sua aceleração, em qualquer instante
, é dada por uma função
, que varia com o tempo. Sabendo que a velocidade
é a taxa de variação da posição
, escreva a equação diferencial que relaciona
e
. Em seguida, suponha que a aceleração é proporcional ao tempo decorrido desde o lançamento. Determine a equação diferencial que modela a velocidade do foguete nesse caso.
Passo 1
O enunciado diz o seguinte (resumindo e listando o que é pedido e o que foi dado):
- O foguete é lançado verticalmente a partir do repouso. Isto dá a condição inicial
. - A aceleração em qualquer instante
é dada por uma função que varia com o tempo. - Pergunta 1: escrever a equação diferencial que relaciona
e em termos gerais. - Pergunta 2: supondo que a aceleração é proporcional ao tempo decorrido desde o lançamento, obter a equação diferencial que modela a velocidade do foguete nesse caso (e, implicitamente, determinar
usando a condição de repouso inicial).
Passo 2
Definições e relações fundamentais — vamos fixar o que cada símbolo significa:
-
é a posição vertical do foguete em função do tempo . -
é a velocidade do foguete em função do tempo . Por definição física e matemática, é a taxa de variação de com respeito ao tempo. -
é a aceleração do foguete em função do tempo . Por definição, é a taxa de variação de com respeito ao tempo.
Escrever isso em forma matemática (cada fórmula isolada):
Aqui
significa "derivada de
em relação a
" e
significa "derivada de
em relação a
".
Passo 3
Resposta à primeira pergunta (equação diferencial geral que relaciona
e
).
A relação fundamental entre aceleração e velocidade é:
Esta é a equação diferencial procurada em termos gerais: ela diz que a derivada da velocidade em relação ao tempo é igual à aceleração conhecida
.
Passo 4
Agora vamos ao caso específico pedido: “a aceleração é proporcional ao tempo decorrido desde o lançamento”. Traduzindo isso para matemática:
- Existe uma constante de proporcionalidade
(número real) tal que
Aqui
tem unidades de aceleração por tempo (por exemplo,
dividido por
=
), e o sinal de
determina se a aceleração cresce positivamente com o tempo ou não.
Substituindo
na equação geral
, obtemos a equação diferencial que modela a velocidade nesse caso:
Passo 5
Resolver a equação diferencial
para encontrar
, usando que o foguete parte do repouso, isto é
.
Método: integração direta. Podemos integrar ambos os lados em relação a
. Escrevendo a primitiva:
onde
é a constante de integração. Calcule a integral:
Portanto a solução geral é
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
:
substituindo em
,
substituindo
Como
, então
. Logo a solução particular (a que serve para o foguete lançado do repouso) é
Alternativa (usando integral definida, que às vezes é mais direta): como
e
, com
,
Passo 7
Interpretação física curta e observações úteis para a prova:
- A equação diferencial básica que liga velocidade e tempo é
. - Se
, a velocidade cresce como (parabólica), com coeficiente . - A constante
controla quão rápido a aceleração cresce; se a aceleração aumenta com o tempo, se diminui (seria desaceleração crescente em módulo). - Sempre lembre de usar a condição inicial para fixar a constante de integração.