Equações de Euler. Em cada um dos Problemas 31 a 34, use a substituição introduzida no Problema 25 na Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada. t^{2} y^{\prime \prime}+3 t y^{\prime}+y=0, \quad t>0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
t^{2}y''+3t y'+y=0,\qquad t>0,
e pede que se resolva essa equação (encontrar a família geral de soluções). Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A equação é válida para t>0.
Os coeficientes dependem em potências de t (termo t^{2} multiplicando y'', termo t multiplicando y').
Não há condições iniciais; queremos a solução geral com duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Vou usar a substituição indicada (trocar a variável independente usando t=e^{x}). Defino a nova função
u(x)=y(t)\quad\text{com}\quad x=\ln t.
Explicação rápida e intuitiva: ao escrever t como e^{x} a razão entre potências de t e derivadas cria fatores que transformam a equação de Euler (Cauchy–Euler) num ODE com coeficientes constantes em x. Isso facilita muito a resolução.
Agora preciso expressar y' e y'' em termos de u, u' e u'' (as derivadas em relação a x). Uso a regra da cadeia.
Assim a equação em u(x) fica com coeficientes constantes:
u''+2u'+u=0.
Passo 5
Resolvo a equação linear homogênea com coeficientes constantes
u''+2u'+u=0
fazendo a caracteristica \,r^{2}+2r+1=0. Observa-se que
r^{2}+2r+1=(r+1)^{2},
portanto há raiz dupla r=-1.
Para uma raiz real dupla r a solução geral é
u(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{r x}.
Com r=-1 obtemos
u(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 6
Volto à variável original t. Lembremos que x=\ln t, então e^{-x}=e^{-\ln t}=t^{-1}. Substituindo x=\ln t em u(x) e lembrando que y(t)=u(\ln t), obtemos