Equações de Euler. Em cada um dos Problemas 31 a 34, use a substituição introduzida no Problema 25 na Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
t^{2} y^{\prime \prime}+3 t y^{\prime}+y=0, \quad t>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t^{2}y''+3t y'+y=0,\qquad t>0,
e pede que se resolva essa equação (encontrar a família geral de soluções). Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação é válida para t>0.
  • Os coeficientes dependem em potências de t (termo t^{2} multiplicando y'', termo t multiplicando y').
  • Não há condições iniciais; queremos a solução geral com duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Vou usar a substituição indicada (trocar a variável independente usando t=e^{x}). Defino a nova função
u(x)=y(t)\quad\text{com}\quad x=\ln t.
Explicação rápida e intuitiva: ao escrever t como e^{x} a razão entre potências de t e derivadas cria fatores que transformam a equação de Euler (Cauchy–Euler) num ODE com coeficientes constantes em x. Isso facilita muito a resolução.
Agora preciso expressar y' e y'' em termos de u, u' e u'' (as derivadas em relação a x). Uso a regra da cadeia.
Primeiro, como x=\ln t, tem-se dx/dt=1/t. Então
y'=\frac{dy}{dt}=\frac{du}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{1}{t}\,u'(x).

Passo 3

Calculo agora y''=\dfrac{d}{dt}\bigl(y'\bigr). Parto de y'=\dfrac{1}{t}u'(x) e aplico a regra do produto e a regra da cadeia:
y''=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{t}u'(x)\right) =\underbrace{\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{t}\right)}_{=-\frac{1}{t^{2}}}u'(x)+\frac{1}{t}\frac{d}{dt}\bigl(u'(x)\bigr).
Para \dfrac{d}{dt}(u'(x)) uso que \dfrac{d}{dt}= \dfrac{dx}{dt}\dfrac{d}{dx}=\dfrac{1}{t}\dfrac{d}{dx}, logo
\frac{d}{dt}\bigl(u'(x)\bigr)=\frac{1}{t}u''(x).
Substituindo,
y''=-\frac{1}{t^{2}}u'(x)+\frac{1}{t}\cdot\frac{1}{t}u''(x) =\frac{1}{t^{2}}\bigl(u''(x)-u'(x)\bigr).

Passo 4

Substituo y' e y'' na equação original. Lembre:
y'=\frac{1}{t}u',\qquad y''=\frac{1}{t^{2}}(u''-u').
Então
t^{2}y''+3t y'+y = t^{2}\cdot\frac{1}{t^{2}}(u''-u')+3t\cdot\frac{1}{t}u'+u =(u''-u')+3u'+u.
Agrupando termos:
u''-u'+3u'+u = u''+2u'+u.
Assim a equação em u(x) fica com coeficientes constantes:
u''+2u'+u=0.

Passo 5

Resolvo a equação linear homogênea com coeficientes constantes
u''+2u'+u=0
fazendo a caracteristica \,r^{2}+2r+1=0. Observa-se que
r^{2}+2r+1=(r+1)^{2},
portanto há raiz dupla r=-1.
Para uma raiz real dupla r a solução geral é
u(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{r x}.
Com r=-1 obtemos
u(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 6

Volto à variável original t. Lembremos que x=\ln t, então e^{-x}=e^{-\ln t}=t^{-1}. Substituindo x=\ln t em u(x) e lembrando que y(t)=u(\ln t), obtemos
y(t)=\bigl(C_{1}+C_{2}\ln t\bigr)t^{-1}.
Posso reescrever de forma mais compacta:
y(t)=t^{-1}\bigl(C_{1}+C_{2}\ln t\bigr),
válida para t>0 (porque usamos \ln t).

Resposta

y(t)=t^{-1}\bigl(C_{1}+C_{2}\ln t\bigr)

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