Equações de Euler. Em cada um dos Problemas 31 a 34, use a substituição introduzida no Problema 25 na Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
4 t^{2} y^{\prime \prime}-8 t y^{\prime}+9 y=0, \quad t>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
4 t^{2} y^{\prime\prime}-8 t y^{\prime}+9 y=0,\qquad t>0.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação é uma equação com coeficientes que são potências de t (a forma típica de um problema que aceita a substituição abaixo).
  • Queremos encontrar a solução geral y(t) válida para t>0.

Passo 2

Vamos usar a substituição recomendada: definir uma nova variável
x=\ln t \quad\text{(equivalente a }t=e^{x}\text{)},
e escrever a solução em termos de uma função u de x definindo
y(t)=u(x)=u(\ln t).
Intuição rápida: essa mudança transforma derivadas em t em derivadas em x e normalmente converte equações com potências de t em equações com coeficientes constantes, que são mais fáceis de resolver.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de y em relação a t em termos de derivadas de u em relação a x.
Primeiro, a derivada primeira:
\frac{dy}{dt}=\frac{du}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Como x=\ln t, tem-se \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{t}. Então
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{t}\,u'(x).
Agora a derivada segunda: diferenciar \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{t}u'(x) em relação a t. Aplicando a regra do produto e a cadeia:
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{t}u'(x)\right) =-\frac{1}{t^{2}}u'(x)+\frac{1}{t}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(u'(x)\bigr).
Mas \dfrac{d}{dt}u'(x)=u''(x)\dfrac{dx}{dt}=u''(x)\dfrac{1}{t}. Logo
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=-\frac{1}{t^{2}}u'(x)+\frac{1}{t}\cdot\frac{1}{t}u''(x) =\frac{1}{t^{2}}\bigl(u''(x)-u'(x)\bigr).
Resumo das fórmulas que usaremos:
y'=\frac{1}{t}u',\qquad y''=\frac{1}{t^{2}}(u''-u').

Passo 4

Substituímos essas expressões na equação original:
4 t^{2}\,y''-8 t\,y'+9 y =4 t^{2}\cdot\frac{1}{t^{2}}(u''-u')-8 t\cdot\frac{1}{t}u'+9 u.
Simplificando os fatores t:
4(u''-u')-8u'+9u=0.
Agrupando termos:
4u''-4u'-8u'+9u=0\quad\Longrightarrow\quad 4u''-12u'+9u=0.
Obtivemos uma equação diferencial com coeficientes constantes em x:
4u''-12u'+9u=0.

Passo 5

Resolvemos a equação de coeficientes constantes usando a equação característica. Para u(x)=e^{rx} obtemos
4r^{2}-12r+9=0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-12)^{2}-4\cdot4\cdot9=144-144=0,
ou seja, há uma raiz dupla. A raiz é
r=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.
Para uma raiz dupla r a solução geral para u é
u(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{rx}
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Substituindo r=\tfrac{3}{2} obtém-se
u(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{\tfrac{3}{2}x}.
Breve explicação da forma: quando a equação característica tem raiz dupla r, as soluções independentes são e^{rx} e x e^{rx}; por isso o fator (C_{1}+C_{2}x).

Passo 6

Voltando à variável t: como x=\ln t temos
e^{\tfrac{3}{2}x}=e^{\tfrac{3}{2}\ln t}=t^{\tfrac{3}{2}}, \qquad x e^{\tfrac{3}{2}x}=(\ln t)\,t^{\tfrac{3}{2}}.
Portanto a solução geral em t é
y(t)=t^{\tfrac{3}{2}}\bigl(C_{1}+C_{2}\ln t\bigr),\qquad t>0,
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=t^{\tfrac{3}{2}}\bigl(C_{1}+C_{2}\ln t\bigr)

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