Equações de Euler. Em cada um dos Problemas 31 a 34, use a substituição introduzida no Problema 25 na Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que se pede:
- A equação é uma equação com coeficientes que são potências de
(a forma típica de um problema que aceita a substituição abaixo). - Queremos encontrar a solução geral
válida para .
Passo 2
Vamos usar a substituição recomendada: definir uma nova variável
e escrever a solução em termos de uma função
de
definindo
Intuição rápida: essa mudança transforma derivadas em
em derivadas em
e normalmente converte equações com potências de
em equações com coeficientes constantes, que são mais fáceis de resolver.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
em relação a
em termos de derivadas de
em relação a
.
Primeiro, a derivada primeira:
Como
, tem-se
. Então
Agora a derivada segunda: diferenciar
em relação a
. Aplicando a regra do produto e a cadeia:
Mas
. Logo
Resumo das fórmulas que usaremos:
Passo 4
Substituímos essas expressões na equação original:
Simplificando os fatores
:
Agrupando termos:
Obtivemos uma equação diferencial com coeficientes constantes em
:
Passo 5
Resolvemos a equação de coeficientes constantes usando a equação característica. Para
obtemos
Calculamos o discriminante:
ou seja, há uma raiz dupla. A raiz é
Para uma raiz dupla
a solução geral para
é
onde
são constantes arbitrárias. Substituindo
obtém-se
Breve explicação da forma: quando a equação característica tem raiz dupla
, as soluções independentes são
e
; por isso o fator
.
Passo 6
Voltando à variável
: como
temos
Portanto a solução geral em
é
com
constantes arbitrárias.