9 a) A largura da banda proibida que separa a banda de valência da banda de condução no silício é 1,14 eV à temperatura ambiente. Qual o comprimento de onda de um fóton capaz de excitar um elétron do topo da banda de valência para a base da banda de condução?
b) Repita o cálculo para o diamante, no qual a largura da banda proibida é 7,0 eV.
c) A luz vísivel é usualmente definida como tendo comprimentos de onda na faixa de 400 a 700 nm . Baseado nesses valores e nas respostas dos itens anteriores, explique a razão do diamante ser transparente para a luz visível, mas um cristal de Si não.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui?
a) Calcular o comprimento de onda λ de um fóton que consegue pular o gap de 1,14 eV no silício.
b) Fazer a mesma conta pro diamante, cujo gap é 7,0 eV.
c) Usar o resultado e o intervalo da luz visível (400–700 nm) pra entender por que diamante é transparente e silício não.
Conteúdo: ligação entre energia de fóton e λ, conversão de eV em joule, constantes h e c.

Passo 2

Teoria na prática:
  1. A energia de um fóton é dada por
E = h,clambda,,
onde
- 1,eV = 1,602times10^-19,J, (constante de Planck)
- lambda = h,cErm J, (velocidade da luz)
- em metros dá em joules.
2. Como o enunciado nos dá em elétron-volts, a gente usa
  1. Daí é só isolar :

Passo 3

Cálculo para o silício ( Erm Si = 1,14times1,602times10^-19 = 1,826times10^-19,J, ):
  1. Converter energia:
lambdarm Si = 6,626times10^-34times3,00times10^8 1,826times10^-19 approx1,09times10^-6,m =1089,nm,
2. Calcular :
$$\lambda_{\rm Si}
= \frac{6{,}626\times10{-34}\times3{,}00\times108}
{1{,}826\times10^{-19}}
\approx1{,}09\times10^{-6},\mathrm{m}
=1089,\mathrm{nm},. $$

Passo 4

Cálculo para o diamante ( Erm D = 7,0times1,602times10^-19 = 1,1214times10^-18,J, ):
  1. Converter energia:
lambdarm D = 6,626times10^-34times3,00times10^8 1,1214times10^-18 approx1,77times10^-7,m =177,nm,
2. Calcular :
$$\lambda_{\rm D}
= \frac{6{,}626\times10{-34}\times3{,}00\times108}
{1{,}1214\times10^{-18}}
\approx1{,}77\times10^{-7},\mathrm{m}
=177,\mathrm{nm},. $$

Passo 5

Agora, luz visível é de 400 a 700 nm.
  • No silício, o gap exige 1089 nm, ou seja, qualquer fóton com λ menor (mais energético) que isso — incluindo toda a faixa visível — tem energia sobrando pra pular o gap: o silício absorve luz visível.
  • No diamante, o gap exige 177 nm. A luz visível (400–700 nm) tem λ bem maior, então energia insuficiente pra promover elétron ao nível de condução: a luz simplesmente passa, deixando o diamante transparente.

Resposta

λ_Si ≃1089 nm; λ_diamante ≃177 nm.
Silício absorve luz visível (λ<1089 nm) e é opaco; diamante não absorve (λ_visível≫177 nm) e fica transparente.

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