A largura de uma linha espectral de comprimento de onda de 4000 Å é de 10^{-4} Å. Com esta informação, faça uma estimativa do tempo que o elétron permanece no estado excitado antes de relaxar para o nível de energia inferior. Lembre-se que o modelo matemático de Bohr não fornece informação alguma sobre a “duração do tempo” dos eventos excitação e desexcitação. Isto só foi possível com a substituição do conceito de partícula pelo conceito de ondas.

Passo 1

O enunciado dá a largura espectral \Delta\lambda = 10^{-4} Å de uma linha em \lambda = 4000 Å e pede o tempo médio \Delta t de vida do estado excitado. Vamos usar o conceito de onda (time–frequency uncertainty) e a relação entre largura em comprimento de onda e em frequência, além do princípio da incerteza energia–tempo.

Passo 2

Para converter a largura em comprimento de onda \Delta\lambda em largura em frequência \Delta\nu, usamos a aproximação válida para \Delta\lambda\ll\lambda:
\Delta\nu \approx \frac{c\,\Delta\lambda}{\lambda^2},
onde c é a velocidade da luz. Substituindo \lambda = 4000 Å =4\times10^{-7} m e \Delta\lambda=10^{-4} Å =10^{-14} m, temos
\Delta\nu \approx \frac{3{,}0\times10^8\,\text{m/s}\;\times10^{-14}\,\text{m}}{(4\times10^{-7}\,\text{m})^2} = \frac{3{,}0\times10^{-6}}{1{,}6\times10^{-13}} \approx 1{,}9\times10^7\;\text{Hz}.

Passo 3

O princípio da incerteza energia–tempo (ou equivalentemente a relação time–frequency de Fourier) dá aproximadamente
\Delta t \approx \frac{1}{2\pi\,\Delta\nu},
pois \Delta\omega = 2\pi\,\Delta\nu e \Delta\omega\,\Delta t\sim1.

Passo 4

Substituindo \Delta\nu\approx1{,}9\times10^7 Hz, obtemos
\Delta t \approx \frac{1}{2\pi\times1{,}9\times10^7} \approx \frac{1}{1{,}19\times10^8} \approx8{,}4\times10^{-9}\;\text{s}.

Resposta

O tempo de vida médio do estado excitado é da ordem de 10^{-8} s.

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