Partindo da relação de incerteza para a posição e momento, \Delta x \Delta p \geq h / 4 \pi, mostre que para uma partícula que se move em um círculo temos \Delta L \Delta \theta \geq h / 4 \pi. A quantidade \Delta L é a incerteza no momento angular e \Delta \theta é a incerteza na medida do ângulo. Observe que incerteza aqui não tem a mesma conotação de um erro. Erro é uma limitação imposta ao observador pela imprecisão natural dos equipamentos que ele utiliza, ou mesmo por conta da metodologia utilizada na medida. Já a incerteza é uma limitação imposta pela natureza ao observador pela abordagem que ele escolheu fazer a observação. Quando se faz medidas com ondas, o fenômeno da difração impõe uma barreira nos resultados de medidas de distâncias a partir da qual, mesmo o equipamento tendo resolução para investigar, não se pode investigar. É como se você tivesse um equipamento capaz de medir a distância pretendida, mas não soubesse o local onde essa medida fosse feita. Por isso não chamamos essa impossibilidade de erro, mas de incerteza. Em princípio, erros podem ser reduzidos, mas a incerteza não. A não ser que se escolha um comprimento de onda maior. Mas aí o “instrumento de medida” apresentaria um erro muito maior. No final de contas, existe um compromisso entre o erro e incerteza. Para estudar fenômenos em distâncias muito pequenas temos que usar obrigatoriamente o comprimento de uma onda de uma onda como padrão de medida. E é aí que mora o perigo!

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, a partir da relação de incerteza para posição e momento
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{h}{4\pi}\,,
chegamos a uma relação análoga entre incerteza no momento angular \Delta L e incerteza no ângulo \Delta \theta para uma partícula que se move numa circunferência. Vamos usar a definição de arco e a relação entre momento linear e momento angular.

Passo 2

Num movimento circular de raio constante r, o deslocamento linear ao longo do arco é
x = r\,\theta
Logo, a incerteza em x e em \theta se relacionam por
\Delta x = r\,\Delta \theta\,.

Passo 3

Para o mesmo movimento, o momento angular em módulo é
L = r\,p
onde p é o momento linear tangencial. Desse modo, a incerteza no momento linear e no momento angular satisfaz
\Delta L = r\,\Delta p \quad\Longrightarrow\quad \Delta p = \frac{\Delta L}{r}\,.

Passo 4

Multiplicando as duas incertezas lineares, usando \Delta x = r\,\Delta\theta e \Delta p = \Delta L/r, obtemos
\Delta x\,\Delta p = \bigl(r\,\Delta\theta\bigr)\,\frac{\Delta L}{r} = \Delta L\,\Delta\theta\,.

Passo 5

Como vale sempre
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{h}{4\pi}\,,
substituindo o resultado do passo anterior segue
\Delta L\,\Delta \theta \ge \frac{h}{4\pi}\,.

Resposta

\Delta L\,\Delta \theta \ge \frac{h}{4\pi}

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