Partindo da relação de incerteza para a posição e momento,
, mostre que para uma partícula que se move em um círculo temos
. A quantidade
é a incerteza no momento angular e
é a incerteza na medida do ângulo. Observe que incerteza aqui não tem a mesma conotação de um erro. Erro é uma limitação imposta ao observador pela imprecisão natural dos equipamentos que ele utiliza, ou mesmo por conta da metodologia utilizada na medida. Já a incerteza é uma limitação imposta pela natureza ao observador pela abordagem que ele escolheu fazer a observação. Quando se faz medidas com ondas, o fenômeno da difração impõe uma barreira nos resultados de medidas de distâncias a partir da qual, mesmo o equipamento tendo resolução para investigar, não se pode investigar. É como se você tivesse um equipamento capaz de medir a distância pretendida, mas não soubesse o local onde essa medida fosse feita. Por isso não chamamos essa impossibilidade de erro, mas de incerteza. Em princípio, erros podem ser reduzidos, mas a incerteza não. A não ser que se escolha um comprimento de onda maior. Mas aí o “instrumento de medida” apresentaria um erro muito maior. No final de contas, existe um compromisso entre o erro e incerteza. Para estudar fenômenos em distâncias muito pequenas temos que usar obrigatoriamente o comprimento de uma onda de uma onda como padrão de medida. E é aí que mora o perigo!
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, a partir da relação de incerteza para posição e momento
chegamos a uma relação análoga entre incerteza no momento angular
e incerteza no ângulo
para uma partícula que se move numa circunferência. Vamos usar a definição de arco e a relação entre momento linear e momento angular.
Passo 2
Num movimento circular de raio constante
, o deslocamento linear ao longo do arco é
Logo, a incerteza em
e em
se relacionam por
Passo 3
Para o mesmo movimento, o momento angular em módulo é
onde
é o momento linear tangencial. Desse modo, a incerteza no momento linear e no momento angular satisfaz
Passo 4
Multiplicando as duas incertezas lineares, usando
e
, obtemos
Passo 5
Como vale sempre
substituindo o resultado do passo anterior segue