Se assumirmos que E=\frac{1}{2} m v^{2} para uma partícula que se move em linha reta, mostre que \Delta E \Delta t \geq h / 4 \pi, sendo \Delta t=\Delta x / v. Vimos em sala de aula que esta relação tem grande importância para o entendimento de vários fenômenos. Como exemplo, podemos entender facilmente porque todas as fontes de luz na natureza são policromáticas. Para termos luz monocromática, quando for o caso, precisamos usar a refração ou dispersão para fazer isso.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma partícula de energia cinética
E = \tfrac12 m v^2
movendo-se em linha reta, vale a desigualdade
\Delta E\,\Delta t \ge \frac{h}{4\pi},
onde \Delta t = \Delta x / v. O conteúdo principal é o Princípio da Incerteza de Heisenberg na forma
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2} \quad\text{com}\quad \hbar = \frac{h}{2\pi}.

Passo 2

Expressamos a quantidade de movimento em função da velocidade:
p = m\,v.
Logo, uma pequena incerteza em p satisfaz
\Delta p = m\,\Delta v.
Também escrevemos a energia em termos de p:
E = \frac{p^2}{2m}.
Derivando em relação a p, obtemos
\frac{dE}{dp} = \frac{p}{m} = v.
Num regime de pequenas incertezas, aproximamos
\Delta E \approx \frac{dE}{dp}\,\Delta p = v\,\Delta p.

Passo 3

Agora multiplicamos \Delta E por \Delta t. Como \Delta t é dada por
\Delta t = \frac{\Delta x}{v},
temos
\Delta E\,\Delta t = \bigl(v\,\Delta p\bigr)\,\frac{\Delta x}{v} = \Delta x\,\Delta p.
Pelo Princípio da Incerteza,
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2} = \frac{h}{4\pi}.
Logo
\Delta E\,\Delta t \ge \frac{h}{4\pi},
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

\displaystyle \Delta E\,\Delta t \ge \frac{h}{4\pi}.

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