En las siguientes funciones comprobar que las derivadas parciales mixtas son iguales:
f(x, y) = 1/y * cos(x^2) con y ≠ 0

Passo 1

Esse exercício pede para a gente verificar se as derivadas parciais mistas de uma função são iguais. Estamos estudando derivadas parciais na matéria de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeiro em relação a e , e depois as derivadas mistas e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é:
Como é constante em relação a , derivamos apenas :
Então,

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para obter :
Derivando com relação a :
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, :
Derivando com relação a :
Então,

Passo 5

Por último, vamos derivar em relação a para obter :
Derivando com relação a :
Portanto,

Resposta

As derivadas parciais mistas e são iguais e valem:

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