Um laser de neodímio usado em cirurgia oftálmica pode emitir um pulso luminoso de 3 m J em 1ns. O comprimento de onda da luz emitida é de 1064 nm . Esse laser é focalisado sob incidência normal em uma região da retina cobrindo uma área circular de 3 m m de diâmento. Admita que a retina é uma superfície circular e que a velocidade da luz é aproximadamente igual a velocidade da luz no vácuo.
(a) Calcule a potência por unidade de área do pulso luminoso na retina.
(b) Considerando o pulso como uma onda plana, qual o valor máximo do campo elétrico e do campo magnético na retina? (Resp: B_{m}=0,05958 T )

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Dados: \text{Energia do pulso } E=3\\ \text{mJ}=3\times10^{-3}\\ \text{J}
\text{Duração do pulso } \Delta t=1\\ \text{ns}=1\times10^{-9}\\ \text{s}çã
\text{Comprimento de onda } \lambda=1064\\ \text{nm} \quad(\text{não será necessário numericamente})ãáá
\text{Diâmetro da mancha na retina } d=3\\ \text{mm}=3\times10^{-3}\\ \text{m}â
\text{Logo o raio } r=\frac{d}{2}=1,5\times10^{-3}\\ \text{m}
A velocidade da luz pode ser tomada como c (aproximadamente 3\times10^{8}\\ \text{m/s}).
  • Perguntas:
    (a) Calcular a potência por unidade de área (intensidade) do pulso na retina.
    (b) Considerando o pulso como onda plana, calcular os valores máximos (amplitudes) do campo elétrico E_{m} e do campo magnético B_{m} na retina.

Passo 2

Transformar energia e duração em potência média durante o pulso.
A potência (energia por tempo) é
P=\frac{E}{\Delta t}.
Substituindo os números:
P=\frac{3\times10^{-3}}{1\times10^{-9}}=3\times10^{6}\\ \text{W}.
Explicação didática: potência é a taxa de entrega de energia. Como o pulso entrega 3\times10^{-3}\\ \text{J} em 1\times10^{-9}\\ \text{s}, a potência instantânea durante o pulso é 3\times10^{6}\\ \text{W} (3 megawatts). Não é necessário usar a \lambda aqui.

Passo 3

Calcular a área da mancha circular na retina e, a partir disso, a intensidade I (potência por unidade de área).
Área de um círculo:
A=\pi r^{2}.
Com r=1,5\times10^{-3}\\ \text{m}:
A=\pi\,(1,5\times10^{-3})^{2}=\pi\cdot2,25\times10^{-6}=7,0685834706\times10^{-6}\\ \text{m}^{2}.
Agora a intensidade (potência por área) é
I=\frac{P}{A}=\frac{3\times10^{6}}{7,0685834706\times10^{-6}}.
Fazendo a conta:
I\approx 4,242640687\times10^{11}\\ \text{W/m}^{2}.
Comentário pedagógico: intensidade aqui é a potência que incide por metro quadrado durante o pulso. Como o pulso é curto, essa intensidade é muito alta.

Passo 4

Relacionar intensidade com o campo elétrico para uma onda plana no vácuo.
Para uma onda eletromagnética plana em vácuo (ou meio com propriedades próximas às do vácuo), a intensidade média (valor médio do vetor de Poynting) está relacionada com a amplitude do campo elétrico E_{m} por:
I=\frac{1}{2}\,c\,\varepsilon_{0}\,E_{m}^{2},
onde:
  • I é a intensidade (W/m ^2),
  • c é a velocidade da luz ( \approx 3\times10^{8}\\ \text{m/s}),
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx8,854187817\times10^{-12}\\ \text{F/m}),
  • E_{m} é a amplitude do campo elétrico (V/m).
Origem rápida da fórmula (intuitiva): o vetor de Poynting instantâneo tem magnitude S(t)=E(t)B(t)/\mu_{0}, e para uma onda plana B=E/c; fazendo a média temporal sobre uma oscilação resulta na fórmula acima com fator 1/2.
Despejando E_{m}:
E_{m}=\sqrt{\frac{2I}{c\varepsilon_{0}}}.

Passo 5

Calcular numericamente E_{m} usando I encontrado e constantes.
Usando I=4,242640687\times10^{11}\\ \text{W/m}^{2}, c=3\times10^{8}\\ \text{m/s} e \varepsilon_{0}=8,854187817\times10^{-12}\\ \text{F/m}:
E_{m}=\sqrt{\frac{2\cdot4,242640687\times10^{11}}{(3\times10^{8})\cdot(8,854187817\times10^{-12})}}.
Fazendo as contas (mostrando etapas):
c\varepsilon_{0}\approx 3\times10^{8}\cdot8,854187817\times10^{-12}\approx 2,656256345\times10^{-3},
\frac{2I}{c\varepsilon_{0}}\approx\frac{8,485281374\times10^{11}}{2,656256345\times10^{-3}}\approx 3,195\times10^{14},
E_{m}\approx\sqrt{3,195\times10^{14}}\approx 1,79\times10^{7}\\ \text{V/m}.
Interpretação: E_{m} é enorme porque a intensidade do pulso é muito alta.

Passo 6

Calcular o campo magnético máximo B_{m}.
Em vácuo (ou quase vácuo), para uma onda plana há a relação simples entre amplitudes:
B_{m}=\frac{E_{m}}{c}.
Logo:
B_{m}=\frac{1,79\times10^{7}}{3\times10^{8}}\\ \text{T}\approx 5,958\times10^{-2}\\ \text{T}=0,05958\\ \text{T}.
Alternativamente pode-se obter diretamente
B_{m}=\sqrt{\frac{2I}{c^{3}\varepsilon_{0}}},
que dá o mesmo resultado. Confirmamos que B_{m}\approx0,05958\\ \text{T}, conforme a resposta fornecida.

Resposta

(a) I\approx 4,24\times10^{11}\\ \text{W/m}^{2}
(b) E_{m}\approx 1,79\times10^{7}\\ \text{V/m},\quad B_{m}\approx 0,05958\\ \text{T}

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