Uma onda eletromagnética polarizada de frequência angular \omega e número de onda k se propaga no vácuo, ou seja, sem carga ou corrente elétrica. O vetor campo magnético possui amplitude B_{m} e, em determinado instante, possui os seguintes componentes:
(a) Mostre que o vetor campo magnético é solução da equação da onda.
(b) Mostre que \vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0.
(c) A partir da equação de Ampère-Maxwell \vec{\nabla} \times \vec{B}=\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} encontre as componentes do vetor campo elétrico.
(d) Determine o vetor de Poyinting \vec{S}.
Passo 1
O enunciado dá uma onda eletromagnética no vácuo com número de onda k e frequência angular \omega. O campo magnético tem amplitude B_{m} e componentes:
Perguntas a responder:
(a) Mostrar que \vec{B} é solução da equação da onda.
(b) Mostrar que \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0.
(c) Usando \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_{0}\epsilon_{0}\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}, encontrar as componentes de \vec{E}.
(d) Determinar o vetor de Poynting \vec{S}.
Passo 2
Explicação do que é a equação da onda e como aplicá-la aqui.
A equação vetorial da onda para um campo \vec{F}(\vec{r},t) no vácuo é
onde c é a velocidade da luz no vácuo e vale c^{2}=\dfrac{1}{\mu_{0}\epsilon_{0}}. Para mostrar que \vec{B} é solução, verificamos componente a componente. Aqui apenas B_{y} depende de x e t, então o operador laplaciano age só em x.
Calcule \nabla^{2}B_{y}. Como B_{y}=B_{m}\sin(kx-\omega t) e não depende de y,z,
Para que a equação da onda seja satisfeita é necessário que
k^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad \omega = c k,
que é a relação de dispersão correta para ondas eletromagnéticas no vácuo (ou seja, c^{2}=1/(\mu_{0}\epsilon_{0})). Como essa relação vale para a onda dada, concluímos que \vec{B} satisfaz a equação da onda. (Resposta do item (a) concluída.)
Passo 5
Agora mostramos \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0.
Definição do divergente em coordenadas cartesianas:
que é a mesma relação \omega = ck já usada antes. Assim os dois coeficientes coincidem. A possibilidade de termos f(x) ou g(t) diferentes de zero significaria componentes não-oscilatórias (campos estáticos) adicionadas à solução; como estamos tratando da onda puramente harmônica no vácuo e queremos o campo senoidal simples, tomamos as constantes de integração nulas. Portanto
O vetor de Poynting aponta na direção +\hat{x} (direção de propagação da onda) e tem magnitude instantânea \dfrac{cB_{m}^{2}}{\mu_{0}}\sin^{2}(kx-\omega t). (Resposta do item (d) concluída.)]