Uma onda eletromagnética polarizada de frequência angular \omega e número de onda k se propaga no vácuo, ou seja, sem carga ou corrente elétrica. O vetor campo magnético possui amplitude B_{m} e, em determinado instante, possui os seguintes componentes:
B_{x}=0 ; B_{y}=B_{m} \operatorname{sen}(k x-\omega t) ; B_{z}=0
(a) Mostre que o vetor campo magnético é solução da equação da onda.
(b) Mostre que \vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0.
(c) A partir da equação de Ampère-Maxwell \vec{\nabla} \times \vec{B}=\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} encontre as componentes do vetor campo elétrico.
(d) Determine o vetor de Poyinting \vec{S}.

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética no vácuo com número de onda k e frequência angular \omega. O campo magnético tem amplitude B_{m} e componentes:
B_{x}=0,\qquad B_{y}=B_{m}\sin(kx-\omega t),\qquad B_{z}=0.
Perguntas a responder:
(a) Mostrar que \vec{B} é solução da equação da onda.
(b) Mostrar que \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0.
(c) Usando \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_{0}\epsilon_{0}\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}, encontrar as componentes de \vec{E}.
(d) Determinar o vetor de Poynting \vec{S}.

Passo 2

Explicação do que é a equação da onda e como aplicá-la aqui.
A equação vetorial da onda para um campo \vec{F}(\vec{r},t) no vácuo é
\boxed{\nabla^{2}\vec{F}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{F}}{\partial t^{2}}}
onde c é a velocidade da luz no vácuo e vale c^{2}=\dfrac{1}{\mu_{0}\epsilon_{0}}. Para mostrar que \vec{B} é solução, verificamos componente a componente. Aqui apenas B_{y} depende de x e t, então o operador laplaciano age só em x.
Calcule \nabla^{2}B_{y}. Como B_{y}=B_{m}\sin(kx-\omega t) e não depende de y,z,
\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial x^{2}} = B_{m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\sin(kx-\omega t) = B_{m}(-k^{2})\sin(kx-\omega t) = -k^{2}B_{y}.
Logo
\nabla^{2}\vec{B} = (0,\,-k^{2}B_{y},\,0).

Passo 3

Calcule a segunda derivada temporal de B_{y}.
\frac{\partial^{2}B_{y}}{\partial t^{2}} = B_{m}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\sin(kx-\omega t) = B_{m}(-\omega^{2})\sin(kx-\omega t) = -\omega^{2}B_{y}.
Assim
\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}} = \left(0,\,-\frac{\omega^{2}}{c^{2}}B_{y},\,0\right).

Passo 4

Compare \nabla^{2}\vec{B} e \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}. Temos
\nabla^{2}\vec{B} = \left(0,\,-k^{2}B_{y},\,0\right),\qquad \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}=\left(0,\,-\frac{\omega^{2}}{c^{2}}B_{y},\,0\right).
Para que a equação da onda seja satisfeita é necessário que
k^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad \omega = c k,
que é a relação de dispersão correta para ondas eletromagnéticas no vácuo (ou seja, c^{2}=1/(\mu_{0}\epsilon_{0})). Como essa relação vale para a onda dada, concluímos que \vec{B} satisfaz a equação da onda. (Resposta do item (a) concluída.)

Passo 5

Agora mostramos \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0.
Definição do divergente em coordenadas cartesianas:
\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z}.
Aqui B_{x}=0 e B_{z}=0. Além disso B_{y}=B_{m}\sin(kx-\omega t) não depende de y, então \partial B_{y}/\partial y=0. Logo
\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0+0+0=0.
Isso coincide com a lei de Gauss para o magnetismo (ausência de monopólos magnéticos). (Resposta do item (b) concluída.)

Passo 6

Calcule \vec{\nabla}\times\vec{B} para usar a lei de Ampère–Maxwell.
Fórmula do rotacional em cartesiano:
\vec{\nabla}\times\vec{B} = \left(\frac{\partial B_{z}}{\partial y}-\frac{\partial B_{y}}{\partial z},\; \frac{\partial B_{x}}{\partial z}-\frac{\partial B_{z}}{\partial x},\; \frac{\partial B_{y}}{\partial x}-\frac{\partial B_{x}}{\partial y}\right).
Com B_{x}=0, B_{z}=0 e B_{y}=B_{m}\sin(kx-\omega t), os termos ficam:
(\nabla\times\vec{B})_{x}=0-0=0,
(\nabla\times\vec{B})_{y}=0-0=0,
(\nabla\times\vec{B})_{z}=\frac{\partial B_{y}}{\partial x}=B_{m}k\cos(kx-\omega t).
Portanto
\vec{\nabla}\times\vec{B} = \bigl(0,\,0,\,kB_{m}\cos(kx-\omega t)\bigr).

Passo 7

Use a equação de Ampère–Maxwell no vácuo:
\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
Como \dfrac{1}{\mu_{0}\epsilon_{0}}=c^{2}, reescrevemos
\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = c^{2}\bigl(0,\,0,\,kB_{m}\cos(kx-\omega t)\bigr).
Isto mostra que apenas a componente E_{z} tem derivada temporal não nula, logo \vec{E} tem a forma \vec{E}=(0,0,E_{z}(x,t)).
Integramos em relação ao tempo:
\frac{\partial E_{z}}{\partial t} = c^{2}kB_{m}\cos(kx-\omega t) \quad\Longrightarrow\quad E_{z}(x,t)=c^{2}kB_{m}\int \cos(kx-\omega t)\,dt.
Realizando a integral (x é constante na integração em t),
E_{z}(x,t) = c^{2}kB_{m}\left(-\frac{1}{\omega}\right)\sin(kx-\omega t) + f(x) = -\frac{c^{2}k}{\omega}B_{m}\sin(kx-\omega t) + f(x),
onde f(x) é uma “constante” de integração que pode depender de x.

Passo 8

Agora usamos a lei de Faraday (necessária para fixar a dependência espacial/constantes):
\vec{\nabla}\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.
Com \vec{E}=(0,0,E_{z}(x,t)),
(\nabla\times\vec{E})_{y} = -\frac{\partial E_{z}}{\partial x},
e os outros componentes do rotacional de \vec{E} são zero. O lado direito é
-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} = -\bigl(0,\,\partial B_{y}/\partial t,\,0\bigr) = -\bigl(0,\,-\omega B_{m}\cos(kx-\omega t),\,0\bigr) = \bigl(0,\,\omega B_{m}\cos(kx-\omega t),\,0\bigr).
Igualando a componente y:
-\frac{\partial E_{z}}{\partial x} = \omega B_{m}\cos(kx-\omega t).
Integramos em x:
E_{z}(x,t) = -\frac{\omega}{k}B_{m}\sin(kx-\omega t) + g(t),
onde g(t) é constante de integração em x.

Passo 9

Compare as duas expressões obtidas para E_{z}:
E_{z} = -\frac{c^{2}k}{\omega}B_{m}\sin(kx-\omega t) + f(x)
e
E_{z} = -\frac{\omega}{k}B_{m}\sin(kx-\omega t) + g(t).
Para compatibilidade deve valer
\frac{c^{2}k}{\omega}=\frac{\omega}{k}\quad\Longleftrightarrow\quad \omega^{2}=c^{2}k^{2},
que é a mesma relação \omega = ck já usada antes. Assim os dois coeficientes coincidem. A possibilidade de termos f(x) ou g(t) diferentes de zero significaria componentes não-oscilatórias (campos estáticos) adicionadas à solução; como estamos tratando da onda puramente harmônica no vácuo e queremos o campo senoidal simples, tomamos as constantes de integração nulas. Portanto
E_{z}(x,t) = -\frac{\omega}{k}B_{m}\sin(kx-\omega t).
Usando \dfrac{\omega}{k}=c obtemos a forma final:
E_{x}=0,\qquad E_{y}=0,\qquad E_{z}=-cB_{m}\sin(kx-\omega t).
Logo o módulo máximo do campo elétrico é E_{m}=cB_{m}. (Resposta do item (c) concluída.)

Passo 10

Determinamos agora o vetor de Poynting. Definição do vetor de Poynting instantâneo:
\vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\vec{E}\times\vec{B}.
Aqui \vec{E}=(0,0,E_{z}) e \vec{B}=(0,B_{y},0). Calcule o produto vetorial passo a passo:
\vec{E}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z}\\[4pt] 0 & 0 & E_{z}\\[4pt] 0 & B_{y} & 0 \end{vmatrix} = \hat{x}(0\cdot 0 - E_{z} B_{y}) - \hat{y}(0\cdot 0 - 0\cdot 0) + \hat{z}(0\cdot B_{y}-0\cdot 0) = -E_{z}B_{y}\,\hat{x}.
Substituindo E_{z}=-cB_{m}\sin(kx-\omega t) e B_{y}=B_{m}\sin(kx-\omega t),
-E_{z}B_{y} = -\bigl(-cB_{m}\sin(kx-\omega t)\bigr)\bigl(B_{m}\sin(kx-\omega t)\bigr) = cB_{m}^{2}\sin^{2}(kx-\omega t).
Portanto
\vec{S} = \frac{1}{\mu_{0}}\,cB_{m}^{2}\sin^{2}(kx-\omega t)\,\hat{x} = \frac{cB_{m}^{2}}{\mu_{0}}\sin^{2}(kx-\omega t)\,\hat{x}.
O vetor de Poynting aponta na direção +\hat{x} (direção de propagação da onda) e tem magnitude instantânea \dfrac{cB_{m}^{2}}{\mu_{0}}\sin^{2}(kx-\omega t). (Resposta do item (d) concluída.)]

Resposta

(a) \displaystyle \nabla^{2}\vec{B}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}} desde que \displaystyle \omega=ck.
(b) \displaystyle \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0.
(c) \displaystyle E_{x}=0,\quad E_{y}=0,\quad E_{z}=-cB_{m}\sin(kx-\omega t).
(d) \displaystyle \vec{S}=\frac{cB_{m}^{2}}{\mu_{0}}\sin^{2}(kx-\omega t)\,\hat{x}.

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