Uma onda eletromagnética plano-polarizada está se propagando no sentido negativo do eixo y. Em uma certa posição e em um determinado instante, o campo elétrico está orientado no sentido positivo do eixo z e tem um módulo de 200 \mathrm{~V} / \mathrm{m}.
(a) Quais são o módulo, a direção e o sentido do vetor campo magnético?
(b) Quais são a direção e o sentido do vetor de Poynting?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas.
Informações fornecidas:
  • A onda eletromagnética é plano-polarizada e se propaga no sentido negativo do eixo y. Vou anotar isso como vetor de propagação unitário \hat{k} = -\hat{y}.
  • Em uma certa posição e instante o campo elétrico tem orientação no sentido positivo do eixo z e módulo \,200\\ \mathrm{V/m}. Em notação vetorial isso é \vec{E}=E\,\hat{z} com E=200\\ \mathrm{V/m}.
Perguntas:
(a) Qual o módulo, a direção e o sentido do vetor campo magnético \vec{B}?
(b) Qual a direção e o sentido do vetor de Poynting \vec{S}?

Passo 2

Entendendo como \vec{E}, \vec{B} e a direção de propagação se relacionam (intuição e regra prática).
  • Para uma onda plana em vácuo, \vec{E}, \vec{B} e o vetor de propagação \hat{k} são mutuamente perpendiculares e formam um triêixo direto (regra da mão direita). Isso significa que \vec{E}\times\vec{B} tem a mesma direção de propagação da onda.
  • Em fórmulas úteis:
\vec{S}=\frac{1}{\mu_0}\,\vec{E}\times\vec{B},
onde \vec{S} é o vetor de Poynting (direção da energia e da propagação), e em módulo para onda plana em vácuo existe a relação
B=\frac{E}{c},
onde c é a velocidade da luz no vácuo.
Vou usar essas ideias passo a passo para achar a direção/sentido de \vec{B} e depois seu módulo numérico.

Passo 3

Determinar a direção e o sentido de \vec{B} a partir da condição \vec{E}\times\vec{B} dar a direção de propagação.
  • Temos \hat{k}=-\hat{y} (propagação para o sentido negativo de y) e \vec{E} apontando para +\hat{z}, ou seja \vec{E}=E\,\hat{z} com E>0.
  • Queremos \vec{E}\times\vec{B} apontando para -\hat{y}. Em termos unitários buscamos \hat{z}\times\hat{b}=-\hat{y}, onde \hat{b} é a direção unitária de \vec{B}.
  • Usei as regras de produto vetorial conhecidas: \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z},\qquad \hat{y}\times\hat{z}=\hat{x},\qquad \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}.Logo \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y} e, portanto, \hat{z}\times(-\hat{x})=-\hat{y}.
  • Conclusão: para obter \hat{z}\times\hat{b}=-\hat{y} basta escolher \hat{b}=-\hat{x}. Assim a direção do campo magnético é ao longo do eixo x, no sentido negativo de x.

Passo 4

Obter o módulo de \vec{B} usando a relação entre E e B em vácuo.
  • A relação entre os módulos é
B=\frac{E}{c},
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Vou tomar c=3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Substituindo E=200\\ \mathrm{V/m}:
B=\frac{200\\ \mathrm{V/m}}{3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}.
  • Fazendo a divisão:
B=6,67\times10^{-7}\\ \mathrm{T}
(arreondado em três algarismos significativos). Observação: o tesla ( \mathrm{T}) é a unidade SI para o campo magnético.

Passo 5

Escrever o vetor \vec{B} completo (módulo, direção e sentido).
  • Direção: eixo x.
  • Sentido: negativo de x (isto é, para -\hat{x}).
  • Módulo: 6,67\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
    Portanto
\vec{B} = -6,67\times10^{-7}\,\hat{x}\\ \mathrm{T}.

Passo 6

Determinar a direção e o sentido do vetor de Poynting \vec{S}.
  • Poynting é dado por
\vec{S}=\frac{1}{\mu_0}\,\vec{E}\times\vec{B}.
  • Já sabemos \vec{E}=200\,\hat{z}\\ \mathrm{V/m} e \vec{B}=-6,67\times10^{-7}\,\hat{x}\\ \mathrm{T}. O produto vetorial das direções é
\hat{z}\times(-\hat{x})=-\hat{y}.
  • Logo \vec{S} aponta para -\hat{y}, ou seja, tem a mesma direção e sentido da propagação dada no enunciado (propagação no sentido negativo de y).
  • (Comentário didático) Isso confirma a regra: \vec{E}\times\vec{B} aponta para a direção em que a onda transporta energia — aqui, sentido negativo de y.

Passo 7

Bônus rápido (opcional, para intuição): magnitude aproximada do fluxo de energia (intensidade).
  • Usando B=E/c e \vec{S}=(1/\mu_0)\vec{E}\times\vec{B}, o módulo instantâneo vale
S=\frac{E\,B}{\mu_0}=\frac{E^2}{\mu_0 c}.
  • Sabendo que \mu_0 c é numericamente aproximadamente 3,77\times10^{2}\\ \Omega (impedância do vácuo \approx 377\\ \Omega), para E=200\\ \mathrm{V/m} temos
S\approx\frac{(200)^2}{377}\\ \mathrm{W/m^2}\approx 1,06\times10^{2}\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Observação: para uma onda senoidal, o valor médio (intensidade média) é metade desse valor se 200\\ \mathrm{V/m} for a amplitude.

Resposta

(a) \vec{B} = -6,67\times10^{-7}\,\hat{x}\\ \mathrm{T}.
(b) Direção do vetor de Poynting: eixo y; sentido: negativo de y (ou seja, -\hat{y}).

Exercícios relacionados