A temperatura de uma corrente de gás é medida com um termopar. A junta pode ser aproximada por uma esfera de diâmetro
, e
). O coeficiente de transferência de calor entre a junta e a corrente de gás é
. Quanto tempo passará para que o termopar acuse
da diferença de aplicada?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Valores fornecidos:
- Diâmetro da junta:
. - Condutividade térmica da junta:
. - Densidade da junta:
. - Calor específico:
. - Coeficiente de convecção com o gás:
.
O que se pede:
- Tempo necessário para que o termopar acuse
da diferença aplicada, ou seja, o tempo tal que a temperatura da junta tenha alcançado da diferença entre temperatura inicial e temperatura do gás.
Passo 2
Escolher o modelo físico e justificar. Para pequenas juntas metálicas pode-se usar o modelo de capacitância lumped (modelo de corpo homogêneo) quando a resistência térmica interna é desprezível em relação à resistência por convecção na superfície. A condição prática é o número de Biot
onde
é o comprimento característico interno definido por
Se
o modelo lumped é válido. Vou verificar isso com os dados do problema. Se válido, a evolução temporal da temperatura do corpo em convecção com fluido é de primeira ordem:
onde
é a constante de tempo do corpo, dada por
Vou calcular
e
explicitamente.
Passo 3
Converter unidades e calcular medidas geométricas da esfera (a junta é aproximada por esfera).
- Raio:
- Converter
para : - Volume da esfera:
Calculemos numérico:
- Área da superfície da esfera:
Passo 4
Calcular o comprimento característico
e o número de Biot
.
-
- Biot:
Calculemos:
Como
, o modelo lumped é válido e podemos usar a expressão exponencial e a constante de tempo
dada acima.
Passo 5
Calcular a constante de tempo
.
Usar
Usar
Substituindo os valores:
-
Primeiro calcule:
Agora multiplica por
:
- Agora
Logo
Portanto a constante de tempo da junta é aproximadamente
.
Passo 6
Encontrar o tempo para alcançar
da diferença. Queremos
pois restará
da diferença inicial. Da solução exponencial:
Tomando logaritmo natural,
Como
, e usando
,