A temperatura de uma corrente de gás é medida com um termopar. A junta pode ser aproximada por uma esfera de diâmetro \mathrm{D}=1,0 \mathrm{~mm}, \mathrm{~K}=25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}, \rho=8400 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}, e \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=0,4 \mathrm{Kj} / \mathrm{Kg}^{\circ} \mathrm{C} ). O coeficiente de transferência de calor entre a junta e a corrente de gás é \mathrm{h}=560 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}. Quanto tempo passará para que o termopar acuse 99 \% da diferença de aplicada?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Valores fornecidos:
  • Diâmetro da junta: \mathrm{D}=1{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Condutividade térmica da junta: \mathrm{K}=25\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}.
  • Densidade da junta: \rho=8400\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Calor específico: \mathrm{c}_p=0{,}4\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}).
  • Coeficiente de convecção com o gás: \mathrm{h}=560\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\,^\circ\mathrm{C}).
O que se pede:
  • Tempo necessário para que o termopar acuse 99\% da diferença aplicada, ou seja, o tempo t tal que a temperatura da junta tenha alcançado 99\% da diferença entre temperatura inicial e temperatura do gás.

Passo 2

Escolher o modelo físico e justificar. Para pequenas juntas metálicas pode-se usar o modelo de capacitância lumped (modelo de corpo homogêneo) quando a resistência térmica interna é desprezível em relação à resistência por convecção na superfície. A condição prática é o número de Biot
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{K},
onde L_c é o comprimento característico interno definido por
L_c=\frac{V}{A}.
Se \mathrm{Bi}<0{,}1 o modelo lumped é válido. Vou verificar isso com os dados do problema. Se válido, a evolução temporal da temperatura do corpo em convecção com fluido é de primeira ordem:
\frac{T(t)-T_\infty}{T_0-T_\infty}=e^{-t/\tau},
onde \tau é a constante de tempo do corpo, dada por
\tau=\frac{\rho V c_p}{hA}.
Vou calcular \mathrm{Bi} e \tau explicitamente.

Passo 3

Converter unidades e calcular medidas geométricas da esfera (a junta é aproximada por esfera).
  • Raio: \displaystyle r=\frac{D}{2}=\frac{1{,}0\\ \mathrm{mm}}{2}=0{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0005\\ \mathrm{m}.
  • Converter c_p para \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}): \displaystyle c_p=0{,}4\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C})=400\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}).
  • Volume da esfera:
V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi(0{,}0005)^3.
Calculemos numérico:
r^3=(0{,}0005)^3=1{,}25\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^3,
V=\frac{4}{3}\pi\cdot1{,}25\times10^{-10}=5{,}2359877\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^3.
  • Área da superfície da esfera:
A=4\pi r^2=4\pi(0{,}0005)^2=4\pi\cdot2{,}5\times10^{-7}=3{,}1415927\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular o comprimento característico L_c e o número de Biot \mathrm{Bi}.
  • L_c=\dfrac{V}{A}=\dfrac{5{,}2359877\times10^{-10}}{3{,}1415927\times10^{-6}}=\dfrac{r}{3}= \dfrac{0{,}0005}{3}=1{,}6666667\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{K}=\frac{560\cdot1{,}6666667\times10^{-4}}{25}.
Calculemos:
560\cdot1{,}6666667\times10^{-4}=0{,}0933333,
\mathrm{Bi}=\frac{0{,}0933333}{25}=0{,}0037333\approx3{,}73\times10^{-3}.
Como \mathrm{Bi}\ll0{,}1, o modelo lumped é válido e podemos usar a expressão exponencial e a constante de tempo \tau dada acima.

Passo 5

Calcular a constante de tempo \tau.
Usar
\tau=\frac{\rho V c_p}{hA}.
Substituindo os valores:
  • \rho V c_p = 8400\cdot(5{,}2359877\times10^{-10})\cdot400.
    Primeiro calcule \rho V:
8400\cdot5{,}2359877\times10^{-10}=4{,}3976287\times10^{-6}\\ \mathrm{kg}.
Agora multiplica por c_p:
\rho V c_p=4{,}3976287\times10^{-6}\cdot400=0{,}0017590515\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}.
  • Agora hA=560\cdot3{,}1415927\times10^{-6}=0{,}0017592911\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}.
    Logo
\tau=\frac{0{,}0017590515}{0{,}0017592911}=0{,}9998686\\ \mathrm{s}\approx1{,}00\\ \mathrm{s}.
Portanto a constante de tempo da junta é aproximadamente \tau\approx1{,}00\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Encontrar o tempo para alcançar 99\% da diferença. Queremos
\frac{T(t)-T_\infty}{T_0-T_\infty}=0{,}01,
pois restará 1\% da diferença inicial. Da solução exponencial:
e^{-t/\tau}=0{,}01.
Tomando logaritmo natural,
-t/\tau=\ln(0{,}01)=-\ln(100),
t=\tau\ln(100).
Como \ln(100)=\ln(10^2)=2\ln(10)\approx4{,}605170, e usando \tau\approx1{,}00\\ \mathrm{s},
t\approx1{,}00\cdot4{,}605170\\ \mathrm{s}\approx4{,}605\\ \mathrm{s}.

Resposta

t\approx4{,}61\\ \mathrm{s}

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