3.4 Uma lata cilíndrica com topo é feita para receber
de líquido. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.
Passo 1
O enunciado dá uma lata cilíndrica com tampa (ou seja, tampa e fundo estão presentes) que deve conter
cm
de líquido. A tarefa é encontrar as dimensões da lata (raio e altura) que minimizam o custo do metal — isto é, minimizar a área da superfície metálica necessária, sujeita ao volume pedido. Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Vamos escrever as fórmulas que relacionam
,
e o volume e a área da lata, explicando cada termo.
- Volume de um cilindro: a base é um círculo de área
e o volume é base vezes altura, portanto
Aqui
é a área da base (em cm
) e multiplicando por
obtemos o volume em cm
.
- Área total (superfície) de um cilindro com tampa: soma da área das duas bases mais a área lateral. A área de cada base é
, então duas bases dão . A área lateral é a circunferência da base vezes a altura, ou seja . Assim a área total a minimizar é
Passo 3
Como temos a restrição do volume, isolamos
em função de
para reduzir o problema a uma variável só. Da relação do volume:
Isto nos dá a altura necessária para qualquer raio
quando o volume é fixo.
Passo 4
Substituímos
em
para obter
como função de
apenas. Substituindo
em
:
Simplificando o segundo termo (observe que
cancela e sobra
):
Agora o problema virou: minimizar
para
com
fixo e positivo.
Passo 5
Para encontrar o mínimo, calculamos a derivada de
em relação a
e igualamos a zero (condição de extrema). Derivando termo a termo:
-
(regra do potência: ). -
.
Logo
Impondo
para achar pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por
(positivo) para limpar denominadores:
Dividindo por
:
Passo 6
Extraímos a raiz cúbica para obter
:
Agora substituímos
(dado do enunciado), então a expressão final para o raio que minimiza é
Passo 7
Agora determinamos
. Podemos usar a relação do volume
. Como já temos
, multiplicando ambos os lados por
obtemos
. Substituindo isso em
:
Portanto, a altura ótima é o dobro do raio. Substituindo a expressão de
:
Passo 8
Convém checar que o ponto crítico encontrado é realmente mínimo. Calculamos a segunda derivada:
Como
e
, temos
, logo
é convexa em
e o ponto crítico é um mínimo global para
. Assim as dimensões encontradas realmente minimizam a área (e portanto o custo do metal).