3.4 Uma lata cilíndrica com topo é feita para receber (a+2)^{2} \mathrm{~cm}^{3} de líquido. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.

Passo 1

O enunciado dá uma lata cilíndrica com tampa (ou seja, tampa e fundo estão presentes) que deve conter (a+2)^{2} cm ^3 de líquido. A tarefa é encontrar as dimensões da lata (raio e altura) que minimizam o custo do metal — isto é, minimizar a área da superfície metálica necessária, sujeita ao volume pedido. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Volume dado: }V=(a+2)^{2}\\ \text{cm}^3.
\text{Variáveis desconhecidas: }r\\ (\text{raio em cm}),\quad h\\ (\text{altura em cm}).á

Passo 2

Vamos escrever as fórmulas que relacionam r, h e o volume e a área da lata, explicando cada termo.
  • Volume de um cilindro: a base é um círculo de área \pi r^{2} e o volume é base vezes altura, portanto
\pi r^{2}h = V.
Aqui \pi r^{2} é a área da base (em cm ^2) e multiplicando por h obtemos o volume em cm ^3.
  • Área total (superfície) de um cilindro com tampa: soma da área das duas bases mais a área lateral. A área de cada base é \pi r^{2}, então duas bases dão 2\pi r^{2}. A área lateral é a circunferência da base vezes a altura, ou seja 2\pi r h. Assim a área total a minimizar é
S = 2\pi r^{2} + 2\pi r h.

Passo 3

Como temos a restrição do volume, isolamos h em função de r para reduzir o problema a uma variável só. Da relação do volume:
\pi r^{2}h = V \quad\Rightarrow\quad h = \frac{V}{\pi r^{2}}.
Isto nos dá a altura necessária para qualquer raio r quando o volume é fixo.

Passo 4

Substituímos h em S para obter S como função de r apenas. Substituindo h=\dfrac{V}{\pi r^{2}} em S=2\pi r^{2}+2\pi r h:
S(r)=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^{2}}.
Simplificando o segundo termo (observe que \pi cancela e sobra V/r):
S(r)=2\pi r^{2}+\frac{2V}{r}.
Agora o problema virou: minimizar S(r) para r>0 com V fixo e positivo.

Passo 5

Para encontrar o mínimo, calculamos a derivada de S(r) em relação a r e igualamos a zero (condição de extrema). Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dr}\big(2\pi r^{2}\big)=4\pi r (regra do potência: d(r^{2})/dr=2r).
  • \dfrac{d}{dr}\big(\dfrac{2V}{r}\big)=2V\cdot \dfrac{d}{dr}(r^{-1}) = 2V\cdot(-1)r^{-2} = -\dfrac{2V}{r^{2}}.
    Logo
S'(r)=4\pi r - \frac{2V}{r^{2}}.
Impondo S'(r)=0 para achar pontos críticos:
4\pi r - \frac{2V}{r^{2}} = 0.
Multiplicando ambos os lados por r^{2} (positivo) para limpar denominadores:
4\pi r^{3} - 2V = 0 \quad\Rightarrow\quad 4\pi r^{3} = 2V.
Dividindo por 2:
2\pi r^{3} = V \quad\Rightarrow\quad r^{3} = \frac{V}{2\pi}.

Passo 6

Extraímos a raiz cúbica para obter r:
r = \left(\frac{V}{2\pi}\right)^{1/3}.
Agora substituímos V=(a+2)^{2} (dado do enunciado), então a expressão final para o raio que minimiza é
r = \left(\frac{(a+2)^{2}}{2\pi}\right)^{1/3}\\ \text{cm}.

Passo 7

Agora determinamos h. Podemos usar a relação do volume V=\pi r^{2}h. Como já temos r^{3}=\dfrac{V}{2\pi}, multiplicando ambos os lados por 2\pi obtemos 2\pi r^{3}=V. Substituindo isso em h=\dfrac{V}{\pi r^{2}}:
h = \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{2\pi r^{3}}{\pi r^{2}} = 2r.
Portanto, a altura ótima é o dobro do raio. Substituindo a expressão de r:
h = 2\left(\frac{(a+2)^{2}}{2\pi}\right)^{1/3}\\ \text{cm}.

Passo 8

Convém checar que o ponto crítico encontrado é realmente mínimo. Calculamos a segunda derivada:
S''(r)=\frac{d}{dr}\!\left(4\pi r - \frac{2V}{r^{2}}\right)=4\pi + \frac{4V}{r^{3}}.
Como V>0 e r>0, temos S''(r)>0, logo S é convexa em r e o ponto crítico é um mínimo global para r>0. Assim as dimensões encontradas realmente minimizam a área (e portanto o custo do metal).

Resposta

r=\left(\frac{(a+2)^{2}}{2\pi}\right)^{1/3}\\ \text{cm}
h=2\left(\frac{(a+2)^{2}}{2\pi}\right)^{1/3}\ \text{cm}

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