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[3.5] Esboce o gráfico da seguinte função:
[3.5] Esboce o gráfico da seguinte função:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função
.
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
-
é um parâmetro real (não foi dado valor numérico). - Vou chamar
o deslocamento (isso simplifica a escrita). Então a função fica . - A raiz cúbica
está definida para todos os reais, logo o domínio de é . - O objetivo é descrever o formato do gráfico (raízes, extremos, comportamento em
, pontos singulares) e dar instruções para o esboço, tratando também o caso especial que aparecer (quando necessário).
Passo 2
Zeros da função (pontos onde
). Resolvo
. Dois fatores:
-
é raiz imediata. -
dá .
Conclusão: as raízes sãoe . Se (ou seja ) as duas raízes coincidem em .
Passo 3
Cálculo da derivada (para estudar monotonicidade e extremos). Vou aplicar regra do produto e regra da cadeia. Seja
. Então
. Derivando:
- derivada de
é ; - derivada de
em relação a é (pois ).
Portanto:
Agora coloco tudo sobre o mesmo denominador para simplificar (uso
):
Voltando a
:
Passo 4
Interpretação da derivada para monotonicidade e extremos. Note que o denominador
é sempre positivo para
(e se
a derivada não está definida). Assim o sinal de
é o mesmo do numerador
. Resolve
:
- Para
temos : função decrescente (exceto atenção em ). - Para
temos : função crescente.
Logoé o único ponto crítico onde muda de sinal e, portanto, corresponde a um mínimo local (na verdade global, como veremos).
Passo 5
Comportamento em
(onde a derivada não está definida). Faço a expansão local põendo
(pequeno
). Então:
A parcela dominante quando
é
. Consequências:
- Se
(ou seja ) o termo tem derivada com comportamento como e, portanto, a inclinação tende a ao se aproximar de : há uma tangente vertical (infinita) em . O sinal do salto infinito depende do lado e do sinal de . - Se
(ou seja ), a expansão fica . Neste caso a função é diferenciável em e (não há tangente vertical).
Passo 6
Valor do extremo (mínimo) em
. Calculo
:
Escrevo de forma mais conveniente (uso que
para
real):
Observações sobre esse valor:
é sempre positivo para
(porque potência
cancela o sinal), então
sempre que
. Para
temos
em
.
Passo 7
Comportamento em
. Para
grande em módulo,
, logo
Portanto
Ou seja, as duas “pontas” do gráfico sobem para
, e a função tem um único vale (mínimo global) em
.
Passo 8
Resumo geométrico e instruções para esboçar (casos gerais e especial):
- Domínio:
. - Zeros:
e . Se então as duas raízes coincidem em . - Extremal: há um único mínimo em
com valor (para esse valor é negativo; para o mínimo é em ). - Ponto singular da derivada:
onde não existe; se há tangente vertical em ; se a função é suave (caso ). - Monotonicidade: decrescente para
e crescente para (lembrar que em a derivada é infinita quando ). - Comportamento nas extremidades:
quando .
Instruções de esboço prático: desenhe eixos; marque
e
no eixo
(raízes). Calcule e marque
e o valor
. A partir da esquerda o gráfico vem de
, desce passando por
, atinge o mínimo em
(valor negativo se
), sobe, cruza o eixo em
. Se
faça uma inclinação bem íngreme (tangente vertical) em
— o gráfico atravessa o eixo com comportamento cúbico-raiz local. Para
(ou
) o gráfico é a curva
: toca o eixo em
com derivada
e é simétrica (par) em relação a
-eixo.
Resposta
Raízes:
e
.\nMínimo global em
com valor
.\nDominio:
. Comportamento:
quando
.\nDerivada:
(não definida em
); em
há tangente vertical para
; se
então
(mínimo
em
, derivada
em
).