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[3.5] Esboce o gráfico da seguinte função:
f(x)=x \sqrt[3]{x-a-1}

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função
f(x)=x\sqrt[3]{x-a-1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • a é um parâmetro real (não foi dado valor numérico).
  • Vou chamar b o deslocamento b = a+1 (isso simplifica a escrita). Então a função fica f(x)=x\sqrt[3]{x-b}.
  • A raiz cúbica \sqrt[3]{\cdot} está definida para todos os reais, logo o domínio de f é \mathbb{R}.
  • O objetivo é descrever o formato do gráfico (raízes, extremos, comportamento em \pm\infty, pontos singulares) e dar instruções para o esboço, tratando também o caso especial que aparecer (quando necessário).

Passo 2

Zeros da função (pontos onde f(x)=0). Resolvo x\sqrt[3]{x-b}=0. Dois fatores:
  • x=0 é raiz imediata.
  • \sqrt[3]{x-b}=0 x-b=0\Rightarrow x=b.
    Conclusão: as raízes são x=0 e x=b. Se b=0 (ou seja a=-1) as duas raízes coincidem em x=0.

Passo 3

Cálculo da derivada (para estudar monotonicidade e extremos). Vou aplicar regra do produto e regra da cadeia. Seja t=x-b. Então f(x)=x\,t^{1/3}. Derivando:
  • derivada de x é 1;
  • derivada de t^{1/3} em relação a x é \tfrac{1}{3}t^{-2/3}\cdot 1 (pois dt/dx=1).
    Portanto:
f'(x)=t^{1/3}+x\cdot\frac{1}{3}t^{-2/3}.
Agora coloco tudo sobre o mesmo denominador para simplificar (uso t^{1/3}=\dfrac{t}{t^{2/3}}):
f'(x)=\frac{t}{t^{2/3}}+\frac{x}{3t^{2/3}}=\frac{3t+x}{3t^{2/3}}.
Voltando a t=x-b:
\boxed{\,f'(x)=\dfrac{4x-3b}{3(x-b)^{2/3}}\,}.

Passo 4

Interpretação da derivada para monotonicidade e extremos. Note que o denominador (x-b)^{2/3} é sempre positivo para x\neq b (e se x=b a derivada não está definida). Assim o sinal de f'(x) é o mesmo do numerador 4x-3b. Resolve 4x-3b=0:
x_c=\frac{3b}{4}=\frac{3(a+1)}{4}.
  • Para x<x_c temos 4x-3b<0\Rightarrow f'(x)<0: função decrescente (exceto atenção em x=b).
  • Para x>x_c temos f'(x)>0: função crescente.
    Logo x_c é o único ponto crítico onde f' muda de sinal e, portanto, corresponde a um mínimo local (na verdade global, como veremos).

Passo 5

Comportamento em x=b (onde a derivada não está definida). Faço a expansão local põendo x=b+t (pequeno t). Então:
f(b+t)=(b+t)\,t^{1/3}=b\,t^{1/3}+t^{4/3}.
A parcela dominante quando t\to 0 é b\,t^{1/3}. Consequências:
  • Se b\neq 0 (ou seja a\neq -1) o termo b\,t^{1/3} tem derivada com comportamento como t^{-2/3} e, portanto, a inclinação tende a \pm\infty ao se aproximar de x=b: há uma tangente vertical (infinita) em x=b. O sinal do salto infinito depende do lado e do sinal de b.
  • Se b=0 (ou seja a=-1), a expansão fica f(x)=x\sqrt[3]{x}=x^{4/3}. Neste caso a função é diferenciável em 0 e f'(0)=0 (não há tangente vertical).

Passo 6

Valor do extremo (mínimo) em x_c=\dfrac{3b}{4}. Calculo f(x_c):
f\!\left(\frac{3b}{4}\right)=\frac{3b}{4}\left(\frac{3b}{4}-b\right)^{1/3} =\frac{3b}{4}\left(-\frac{b}{4}\right)^{1/3}.
Escrevo de forma mais conveniente (uso que \left(-\dfrac{b}{4}\right)^{1/3}=-\dfrac{b^{1/3}}{4^{1/3}} para b real):
\boxed{\,f_{\min}=f\!\left(\frac{3b}{4}\right)=-\frac{3}{4^{4/3}}\,b^{4/3}\, }.
Observações sobre esse valor: b^{4/3} é sempre positivo para b\neq 0 (porque potência 4/3 cancela o sinal), então f_{\min}<0 sempre que b\neq 0. Para b=0 temos f_{\min}=0 em x=0.

Passo 7

Comportamento em \pm\infty. Para x grande em módulo, \sqrt[3]{x-b}\sim \sqrt[3]{x}, logo
f(x)=x\sqrt[3]{x-b}\sim x\cdot x^{1/3}=x^{4/3}.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.
Ou seja, as duas “pontas” do gráfico sobem para +\infty, e a função tem um único vale (mínimo global) em x_c=\dfrac{3(a+1)}{4}.

Passo 8

Resumo geométrico e instruções para esboçar (casos gerais e especial):
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Zeros: x=0 e x=b=a+1. Se a=-1 então as duas raízes coincidem em 0.
  • Extremal: há um único mínimo em x_c=\dfrac{3(a+1)}{4} com valor f_{\min}=-\dfrac{3}{4^{4/3}}(a+1)^{4/3} (para a\neq -1 esse valor é negativo; para a=-1 o mínimo é 0 em x=0).
  • Ponto singular da derivada: x=b onde f'(x) não existe; se b\neq 0 há tangente vertical em x=b; se b=0 a função é suave (caso a=-1).
  • Monotonicidade: decrescente para x<\dfrac{3(a+1)}{4} e crescente para x>\dfrac{3(a+1)}{4} (lembrar que em x=b a derivada é infinita quando b\neq 0).
  • Comportamento nas extremidades: f(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty.
Instruções de esboço prático: desenhe eixos; marque x=0 e x=b=a+1 no eixo x (raízes). Calcule e marque x_c=\dfrac{3(a+1)}{4} e o valor f_{\min}. A partir da esquerda o gráfico vem de +\infty, desce passando por x=0, atinge o mínimo em x_c (valor negativo se b\neq 0), sobe, cruza o eixo em x=b. Se b\neq 0 faça uma inclinação bem íngreme (tangente vertical) em x=b — o gráfico atravessa o eixo com comportamento cúbico-raiz local. Para a=-1 (ou b=0) o gráfico é a curva y=x^{4/3}: toca o eixo em 0 com derivada 0 e é simétrica (par) em relação a y-eixo.

Resposta

Raízes: x=0 e x=a+1.\nMínimo global em x=\dfrac{3(a+1)}{4} com valor f_{\min}=-\dfrac{3}{4^{4/3}}(a+1)^{4/3}.\nDominio: \mathbb{R}. Comportamento: f(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty.\nDerivada: f'(x)=\dfrac{4x-3(a+1)}{3(x-(a+1))^{2/3}} (não definida em x=a+1); em x=a+1 há tangente vertical para a\neq-1; se a=-1 então f(x)=x^{4/3} (mínimo 0 em 0, derivada 0 em 0).

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