Uma lata de refrigerante deve ser desenhada para conter um volume específico de líquido. O custo de produção da lata, que deve ser minimizado, é dado pela seguinte função:
f(D, h)=pi Dh+pi / 2 D^2
Com as seguintes restrições:
Pi / 4 D^2 h >= 400 3,5 <= D <= 8 8 <= h <= 18
Baseado no problema descrito, responda as seguintes questões justificando o máximo possível suas respostas matematicamente:
b) f(D, h) é contínua ou não?

Passo 1

Beleza, aqui o exercício pede só pra gente ver se a função
f(D,h)=pi,D,h ;+;pi2D^2
é contínua ou não, dado o domínio
pi4D^2,h>=400, 3.5<= D<=8, 8<= h<=18
O conteúdo que vamos usar é teoria de funções de duas variáveis: definição de continuidade e fatos de que soma, produto e funções polinomiais são contínuas.

Passo 2

O que significa “ é contínua”?
Uma função de duas variáveis é contínua num ponto se, quando chega pertinho de , chega pertinho de . Formalmente, sem pular etapas:
  1. A gente só olha pontos dentro do nosso domínio.
  2. Para todo existe tal que sempre que , então .

Passo 3

Agora, por que é contínua?
  1. Funções básicas como , , e as constantes ( , ) são todas contínuas.
  2. O produto de funções contínuas é contínuo (logo e e são contínuos).
  3. A soma de funções contínuas é contínua.
Logo, cada termo de é contínuo, e somando-os dá uma função contínua.

Resposta

A função é contínua em todo o domínio dado.

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