Uma lata de refrigerante deve ser desenhada para conter um volume específico de líquido. O custo de produção da lata, que deve ser minimizado, é dado pela seguinte função:
Com as seguintes restrições:
Baseado no problema descrito, responda as seguintes questões justificando o máximo possível suas respostas matematicamente:
b)
é contínua ou não?
Com as seguintes restrições:
Baseado no problema descrito, responda as seguintes questões justificando o máximo possível suas respostas matematicamente:
b)
Passo 1
Beleza, aqui o exercício pede só pra gente ver se a função
é contínua ou não, dado o domínio
O conteúdo que vamos usar é teoria de funções de duas variáveis: definição de continuidade e fatos de que soma, produto e funções polinomiais são contínuas.
Passo 2
O que significa “
é contínua”?
Uma função de duas variáveis é contínua num ponto
se, quando
chega pertinho de
,
chega pertinho de
. Formalmente, sem pular etapas:
Uma função de duas variáveis
- A gente só olha pontos
dentro do nosso domínio. - Para todo
existe tal que sempre que , então .
Passo 3
Agora, por que
é contínua?
- Funções básicas como
, , e as constantes ( , ) são todas contínuas. - O produto de funções contínuas é contínuo (logo
e e são contínuos). - A soma de funções contínuas é contínua.
Logo, cada termo de
é contínuo, e somando-os dá uma função contínua.
Resposta
A função
é contínua em todo o domínio dado.