Uma lata de refrigerante deve ser desenhada para conter um volume específico de líquido. O custo de produção da lata, que deve ser minimizado, é dado pela seguinte função:
Com as seguintes restrições:
Baseado no problema descrito, responda as seguintes questões justificando o máximo possível suas respostas matematicamente:
c)
é convexa, côncava ou indefinida?
Com as seguintes restrições:
Baseado no problema descrito, responda as seguintes questões justificando o máximo possível suas respostas matematicamente:
c)
Passo 1
Resumo da questão: a função de custo é
e a pergunta (item c) é: “essa função é convexa, côncava ou indefinida?”
Matéria: Análise de convexidade de funções de duas variáveis.
O que precisamos: lembrar a definição de convexidade via Hessiana e calcular as segundas derivadas de .
Matéria: Análise de convexidade de funções de duas variáveis.
O que precisamos: lembrar a definição de convexidade via Hessiana e calcular as segundas derivadas de
Passo 2
Teoria sobre convexidade em duas variáveis:
- Uma função
é convexa se a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) for positiva semidefinida para todo ponto do domínio. - É côncava se
for negativa semidefinida. - Se
tiver autovalores de sinais diferentes (i.e., não for semidefinida), dizemos que a função é indefinida.
Pra testar isso, basta calcular os principais menores de:
-
, -
⇒ positiva semidefinitude.
Se a segunda condição falhar,é indefinida.
Passo 3
Vamos achar as derivadas:
Agora as segundas derivadas:
Logo, a Hessiana é
Passo 4
Testando os menores principais:
-
. -
.
Como o determinante é negativo, a Hessiana não é semidefinida — ela tem autovalores de sinais opostos.
Resposta
A função
é indefinida (nem convexa nem côncava).