Uma lata de refrigerante deve ser desenhada para conter um volume específico de líquido. O custo de produção da lata, que deve ser minimizado, é dado pela seguinte função:
f(D, h)=pi Dh+pi / 2 D^2
Com as seguintes restrições:
Pi / 4 D^2 h >= 400 3,5 <= D <= 8 8 <= h <= 18
Baseado no problema descrito, responda as seguintes questões justificando o máximo possível suas respostas matematicamente:
c) f(D, h) é convexa, côncava ou indefinida?

Passo 1

Resumo da questão: a função de custo é
f(D,h)=pi,D,h ;+;pi2,D^2
e a pergunta (item c) é: “essa função é convexa, côncava ou indefinida?”
Matéria: Análise de convexidade de funções de duas variáveis.
O que precisamos: lembrar a definição de convexidade via Hessiana e calcular as segundas derivadas de .

Passo 2

Teoria sobre convexidade em duas variáveis:
  • Uma função é convexa se a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) for positiva semidefinida para todo ponto do domínio.
  • É côncava se for negativa semidefinida.
  • Se tiver autovalores de sinais diferentes (i.e., não for semidefinida), dizemos que a função é indefinida.
    Pra testar isso, basta calcular os principais menores de :
  1. ,
  2. ⇒ positiva semidefinitude.
    Se a segunda condição falhar, é indefinida.

Passo 3

Vamos achar as derivadas:
partial fpartial D =pi,h+pi,D, partial fpartial h =pi,D
Agora as segundas derivadas:
partial^2 fpartial D^2 =pi, partial^2 fpartial Dpartial h =pi, partial^2 fpartial h^2 =0
Logo, a Hessiana é
H = pi & pi pi & 0

Passo 4

Testando os menores principais:
  1. .
  2. .
    Como o determinante é negativo, a Hessiana não é semidefinida — ela tem autovalores de sinais opostos.

Resposta

A função é indefinida (nem convexa nem côncava).

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