Uma lata de refrigerante deve ser desenhada para conter um volume específico de líquido. O custo de produção da lata, que deve ser minimizado, é dado pela seguinte função:
Com as seguintes restrições:
Baseado no problema descrito, responda as seguintes questões justificando o máximo possível suas respostas matematicamente:
e) As restrições do sistema formam uma região convexa?
Dica: lembre-se que se
é uma função convexa, então
a forma uma região convexa. Da mesma forma, se
é côncava,
a forma uma região convexa. Além disso, a interseção de regiões convexas é também uma região convexa.
Com as seguintes restrições:
Baseado no problema descrito, responda as seguintes questões justificando o máximo possível suas respostas matematicamente:
e) As restrições do sistema formam uma região convexa?
Dica: lembre-se que se
Passo 1
Beleza, vamos resumir rapidinho o que a gente tem: é um problema de otimização de uma lata de refrigerante com duas variáveis, diâmetro
e altura
. As restrições são
- volume mínimo:
, - caixas:
e .
O que a gente precisa aqui é saber se o conjunto dessas restrições forma uma região convexa. Então o conteúdo de teoria é “conjuntos convexos” e “níveis de funções convexas/côncavas”.
Passo 2
Lembrando que
- um conjunto
é convexo se, pra quaisquer e , tivermos ; - o nível inferior
de uma função convexa é convexo; - o nível superior
de uma função côncava é convexo; - e a interseção de vários conjuntos convexos continua convexa.
Passo 3
As restrições simples de caixa
são só intervalos fechados em cada variável. Cada um desses intervalos é convexo (é só um segmento). A interseção deles, que forma um retângulo no plano
Passo 4
Agora a parte chata: a restrição de volume é
Pra usar a dica, a gente precisaria que
– Gradiente:
– Hessiana:
$$H=\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2g}{\partial D2}&\frac{\partial2g}{\partial D\partial h}\
\frac{\partial^2g}{\partial h\partial D}&\frac{\partial^2g}{\partial h^2}
\end{pmatrix}
\frac{\partial^2g}{\partial h\partial D}&\frac{\partial^2g}{\partial h^2}
\end{pmatrix}
=
.$$
O determinante de é
, então
é indefinido (nem positivo semidef., nem negativo semidef.). Conclusão:
não é nem convexa nem côncava no domínio positivo. Logo o conjunto
não é garantidamente convexo.
O determinante de
Passo 5
Como a região do volume não é convexa, mesmo que a caixa seja, a interseção final (todas as restrições juntas) também não será convexa – basta um pedaço “torto” vindo desse nível de
.
Resposta
Não. A região definida por todas as restrições não é convexa, porque a condição de volume
não gera um conjunto convexo (pois
não é função côncava).