Uma lata de refrigerante deve ser desenhada para conter um volume específico de líquido. O custo de produção da lata, que deve ser minimizado, é dado pela seguinte função:
f(D, h)=pi Dh+pi / 2 D^2
Com as seguintes restrições:
Pi / 4 D^2 h >= 400 3,5 <= D <= 8 8 <= h <= 18
Baseado no problema descrito, responda as seguintes questões justificando o máximo possível suas respostas matematicamente:
e) As restrições do sistema formam uma região convexa?
Dica: lembre-se que se g(x) é uma função convexa, então g(x) <= a forma uma região convexa. Da mesma forma, se g(x) é côncava, g(x) >= a forma uma região convexa. Além disso, a interseção de regiões convexas é também uma região convexa.

Passo 1

Beleza, vamos resumir rapidinho o que a gente tem: é um problema de otimização de uma lata de refrigerante com duas variáveis, diâmetro D e altura h. As restrições são
  1. volume mínimo: tfracpi4D^2h>=400,
  2. caixas: 3,5<= D<=8 e 8<= h<=18.
    O que a gente precisa aqui é saber se o conjunto dessas restrições forma uma região convexa. Então o conteúdo de teoria é “conjuntos convexos” e “níveis de funções convexas/côncavas”.

Passo 2

Lembrando que
  • um conjunto C é convexo se, pra quaisquer x,yin C e lambdain[0,1], tivermos lambda x+(1-lambda)yin C;
  • o nível inferior x:g(x)<= c de uma função convexa g é convexo;
  • o nível superior x:g(x)>= c de uma função côncava g é convexo;
  • e a interseção de vários conjuntos convexos continua convexa.

Passo 3

As restrições simples de caixa
3,5<= D<=8e8<= h<=18
são só intervalos fechados em cada variável. Cada um desses intervalos é convexo (é só um segmento). A interseção deles, que forma um retângulo no plano (D,h), também é convexo.

Passo 4

Agora a parte chata: a restrição de volume é
pi4D^2h>=400Long<=ftrightarrow g(D,h)=D^2h>=1600pi
Pra usar a dica, a gente precisaria que g fosse côncava (para que g>=const fosse convexo). Mas vamos ver se g(D,h)=D^2h é côncava.
– Gradiente: nabla g=(2Dh,;D^2).
– Hessiana:
$$H=\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2g}{\partial D2}&\frac{\partial2g}{\partial D\partial h}\
\frac{\partial^2g}{\partial h\partial D}&\frac{\partial^2g}{\partial h^2}
\end{pmatrix}
= H= partial^2gpartial D^2&partial^2gpartial Dpartial h partial^2gpartial hpartial D&partial^2gpartial h^2 =2h&2D2D&0.$$
O determinante de H é (2h)cdot0-(2D)^2=-4D^2<0, então H é indefinido (nem positivo semidef., nem negativo semidef.). Conclusão: g não é nem convexa nem côncava no domínio positivo. Logo o conjunto (D,h):g(D,h)>=1600/pi não é garantidamente convexo.

Passo 5

Como a região do volume não é convexa, mesmo que a caixa seja, a interseção final (todas as restrições juntas) também não será convexa – basta um pedaço “torto” vindo desse nível de g.

Resposta

Não. A região definida por todas as restrições não é convexa, porque a condição de volume tfracpi4D^2h>=400 não gera um conjunto convexo (pois D^2h não é função côncava).

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