Em um projeto preliminar de uma estação de tratamento de efluentes, o custo das etapas é dada por:
- Clarificador primário:
- Filtro biológico:
- Unidade de lodo ativado:
Onde os xs são as DQOs (demandas mínimas de oxigênio) saindo das respectivas unidades do processo, ou seja, a concentração do material que deve ser removido.
A remoção necessária em cada unidade deve ser ajustada de modo que a concentração final
seja menor que 0.05. Formule (sem resolver) o problema de otimização, listando a função objetivo e as restrições.
Onde os xs são as DQOs (demandas mínimas de oxigênio) saindo das respectivas unidades do processo, ou seja, a concentração do material que deve ser removido.
A remoção necessária em cada unidade deve ser ajustada de modo que a concentração final
Passo 1
Beleza, resumo rapidão do problema: a gente tem um projeto de tratamento de efluentes com três etapas – clarificador primário, filtro biológico e lodo ativado – e cada uma tem um custo que depende da concentração de DQO que sai dessa etapa (essas concentrações são
). O que a gente quer é montar um problema de otimização pra escolher esses
de modo a minimizar o custo total, respeitando que, no fim, a concentração final
seja menor que 0,05.
Conteúdo: modelagem de problema de otimização (variáveis, função objetivo, restrições).
Conteúdo: modelagem de problema de otimização (variáveis, função objetivo, restrições).
Passo 2
Teoria básica: um problema de otimização é formado por:
- variáveis de decisão (aqui
), - função objetivo (o que a gente quer minimizar ou maximizar),
- restrições (condições que as variáveis têm de satisfazer).
Como queremos o menor custo total, nosso objetivo será minimizar a soma dos custos das três etapas.
Passo 3
Função objetivo: a gente tem os custos individuais
- Clarificador primário:
- Filtro biológico:
- Lodo ativado:
Então a função objetivo fica:
Passo 4
Agora as restrições:
- Precisamos que a concentração final seja bem baixa:
- Como cada etapa só reduz DQO, a concentração vai caindo:
- E, claro, as variáveis têm de ser positivas (não faz sentido conc. negativa):
Resposta
Formulação completa do problema de otimização:
Minimizar
[
C(x_{1},x_{2},x_{3})
19{,}4,x_{1}^{-1{,}47}
+
16{,}8,x_{2}^{-1{,}66}
+
91{,}5,x_{3}^{-0{,}30}
]
+
16{,}8,x_{2}^{-1{,}66}
+
91{,}5,x_{3}^{-0{,}30}
]
Sujeito a