Em um projeto preliminar de uma estação de tratamento de efluentes, o custo das etapas é dada por:
  1. Clarificador primário:
  2. Filtro biológico: 2 Fi
  3. Unidade de lodo ativado: 16,8 x2^-1,66
    Onde os xs são as DQOs (demandas mínimas de oxigênio) saindo das respectivas unidades do processo, ou seja, a concentração do material que deve ser removido.
    A remoção necessária em cada unidade deve ser ajustada de modo que a concentração final seja menor que 0.05. Formule (sem resolver) o problema de otimização, listando a função objetivo e as restrições.

Passo 1

Beleza, resumo rapidão do problema: a gente tem um projeto de tratamento de efluentes com três etapas – clarificador primário, filtro biológico e lodo ativado – e cada uma tem um custo que depende da concentração de DQO que sai dessa etapa (essas concentrações são x1,x2,x3). O que a gente quer é montar um problema de otimização pra escolher esses xi de modo a minimizar o custo total, respeitando que, no fim, a concentração final x3 seja menor que 0,05.
Conteúdo: modelagem de problema de otimização (variáveis, função objetivo, restrições).

Passo 2

Teoria básica: um problema de otimização é formado por:
  1. variáveis de decisão (aqui x1,x2,x3),
  2. função objetivo (o que a gente quer minimizar ou maximizar),
  3. restrições (condições que as variáveis têm de satisfazer).
Como queremos o menor custo total, nosso objetivo será minimizar a soma dos custos das três etapas.

Passo 3

Função objetivo: a gente tem os custos individuais
  • Clarificador primário:
  • Filtro biológico: - Fi
  • Lodo ativado: ,16,8,x2^-1,66
Então a função objetivo fica:

Passo 4

Agora as restrições:
  1. Precisamos que a concentração final seja bem baixa:
x3 <= 0,05
  1. Como cada etapa só reduz DQO, a concentração vai caindo:
x1 >= x2 e x2 >= x3
  1. E, claro, as variáveis têm de ser positivas (não faz sentido conc. negativa):
x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0

Resposta

Formulação completa do problema de otimização:

Minimizar
[
C(x_{1},x_{2},x_{3})

19{,}4,x_{1}^{-1{,}47}
+
16{,}8,x_{2}^{-1{,}66}
+
91{,}5,x_{3}^{-0{,}30}
]
Sujeito a
C(x1,x2,x3) = 19,4,x1^-1,47 + 16,8,x2^-1,66 + 91,5,x3^-0,30

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